Câu 81 trang 51 Sách bài tập Toán lớp 7 tập 2: a) Chứng minh rằng A là trung điểm EF....

Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới)

a) Chứng minh rằng A là trung điểm EF.

b) Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào?

Giải

a) Xét ∆ABC và ∆ACE:

(widehat {ACB} = widehat {CA{ m{E}}}) (so le trong, AE // BC)

AC cạnh chung 

(widehat {CAB} = widehat {AC{ m{E}}}) (so le trong, CE // AB)

Do đó:  ∆ABC = ∆CEA (g.c.g)

( Rightarrow ) AE = BC        (1)

Xét ∆ABC và ∆ABF:

(widehat {ABC} = widehat {{ m{BAF}}}) (so le trong, BF // AC)

AC cạnh chung

(widehat {BAC} = widehat {ABF}) (so le trong, BF // AC)

Do đó: ∆ABC = ∆BAF (g.c.g)

( Rightarrow ) AF = BC            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. Vậy A là trung điểm EF.

b) Kẻ ({ m{A}}H ot BC)

           EF // BC    (gt)

( Rightarrow ) (AH ot EF)

      AE = AF (chứng minh trên)

Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF.

Chứng minh tương tự câu a, ta có B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của  ∆ABC là đường trung trực DFF.

Ta có C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC là đường trung trực của DE.