Câu 8 trang 143 Đại số và giải tích 11: Ôn tập chương IV – Giới hạn...

Bài 8. Chứng minh rằng phương trình (x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0) có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng ((-2, 5))

Trả lời:

Đặt (f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2), ta có:

(eqalign{
& left{ matrix{
f( – 2) = {( – 2)^5} – 3{( – 2)^4} + 5( – 2) – 2 < 0 hfill cr
f(0) = – 2 < 0 hfill cr
f(1) = 1 – 3 + 5 – 2 = 1 > 0 hfill cr
f(2) = {2^5} – {3.2^4} + 5.2 – 2 = – 8 < 0 hfill cr
f(3) = {3^5} – {3.3^4} + 5.3 – 2 = 13 > 0 hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left{ matrix{
f(0).f(1) < 0(1) hfill cr
f(1).f(2) < 0(2) hfill cr
f(2).f(3) < 0(3) hfill cr} ight. cr} )

+) Hàm số (f(x)) là hàm số đa thức liên tục trên (mathbb R).

(⇒) Hàm số (f(x)) liên tục trên các đoạn ([0, 1], [1, 2], [2, 3])    (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra

Phương trình (x^5– 3x^4+ 5x – 2=0) có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng ((0, 1), (1, 2), (2, 3)).

Vậy phương trình (x^5– 3x^4+ 5x – 2=0) có ít nhất ba nghiệm trên khoảng ((-2, 5)) (đpcm)