Câu 7 trang 143 Đại số và giải tích 11: Ôn tập chương IV – Giới hạn...

Bài 7. Xét tính liên tục trên R của hàm số:

(g(x) = left{ matrix{
{{{x^2} – x – 2} over {x – 2}}(x > 2) hfill cr
5 – x(x le 2) hfill cr} ight.)

 Trả lời:

Ta có:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} g(x) = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {{{x^2} – x – 2} over {x – 2}} = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {{(x – 2)(x + 1)} over {x – 2}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} (x + 1) = 3   (1)cr} )

  (mathop {lim }limits_{x o {2^ – }} g(x) = mathop {lim }limits_{x o {2^ – }} (5 – x) = 3)  (2)

(g(2) = 5 – 2 = 3 )                            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: (mathop {lim }limits_{x o 2} g(x) = g(2)) .

Do đó hàm số (y = g(x)) liên tục tại (x_0= 2)

 Mặt khác trên ((-∞, 2)), (g(x)) là hàm đa thức và trên ((2, +∞)), (g(x)) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên ((2, +∞)) nên hàm số (g(x)) liên tục trên hai khoảng ((-∞, 2)) và ((2, +∞))

Vậy hàm số (y = g(x)) liên tục trên (mathbb R).