Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Bài 45. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

({u_1} = 2 ext{ và }{u_n} = {{{u_{n – 1}} + 1} over 2}) với mọi (n ≥ 2)

Chứng minh rằng

({u_n} = {{{2^{n – 1}} + 1} over {{2^{n – 1}}}})   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Giải:

+) Với (n = 1), theo giả thiết ta có ({u_1} = 2 = {{{2^{1 – 1}} + 1} over {{2^{1 – 1}}}}) . Như vậy (1) đúng khi (n = 1).

+) Giả sử (1) đúng khi (n = k,; k inmathbb N^*) tức là:

(u_k={{{2^{k – 1}} + 1} over {{2^{k – 1}}}})

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n=k+1)

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) ta có:

({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} over 2} = {{{{{2^{k – 1}} + 1} over {{2^{k – 1}}}} + 1} over 2} = {{{2^k} + 1} over {{2^k}}})

Nghĩa là (1) đúng với (n = k + 1).

Vậy (1) đúng với mọi (n inmathbb N^*)