Câu 5.26 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm a để phương trình

Tìm a để phương trình (f'left( x ight) = 0) có nghiệm, biết rằng

                        (fleft( x ight) = acos x + 2sin x - 3x + 1)

Giải

Với mọi (x in R) ta có

                (f'left( x ight) = asin x + 2cos x - 3.)

Để (f'left( x ight) = 0) có nghiệm thì ta phải tìm a sao cho phương trình (2cos x - asin x = 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 ight))   có nghiệm. Ta có

(left( 1 ight) Leftrightarrow {2 over {sqrt {{a^2} + 4} }}cos x - {a over {sqrt {{a^2} + 4} }}sin x = {3 over {sqrt {{a^2} + 4} }},,,,,,,,,,left( 2 ight))

Vì ({left( {{2 over {sqrt {{a^2} + 4} }}} ight)^2} + {left( {{a over {sqrt {{a^2} + 4} }}} ight)^2} = 1) nên có số (alpha ) sao cho(left{ matrix{cos alpha  = {2 over {sqrt {{a^2} + 4} }} hfill crsin alpha  = {a over {sqrt {{a^2} + 4} }} hfill cr}  ight.)

Thế vào (2), ta được : (cos xcos alpha  - sin xsin alpha  = {3 over {sqrt {{a^2} + 4} }})

                                    ( Leftrightarrow cos left( {x + alpha } ight) = {3 over {sqrt {{a^2} + 4} ,}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 3 ight))

Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi

( - 1 le {3 over {sqrt {{a^2} + 4} }} le 1 Leftrightarrow 3 le sqrt {{a^2} + 4}  Leftrightarrow {a^2} + 4 ge 9 )

(Leftrightarrow {a^2} ge 5 Leftrightarrow left| a ight| ge sqrt {5} )

Sachbaitap.com