Câu 56 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm các giới hạn của các dãy số (u¬¬n) với :...

Tìm các giới hạn của các dãy số (u­­_n) với :

a.  ({u_n} = sqrt {3n – 1} – sqrt {2n – 1} )

b.  ({u_n} = {{{4^n} – {5^n}} over {{2^n} + {{3.5}^n}}})

Giải:

a.

(eqalign{
& lim {u_n} = lim left( {sqrt {3n – 1} – sqrt {2n – 1} } ight) cr
& = lim {{3n – 1 – left( {2n – 1} ight)} over {sqrt {3n – 1} + sqrt {2n – 1} }}cr & = lim {n over {sqrt n left( {sqrt {3 – {1 over n}} + sqrt {2 – {1 over n}} } ight)}} cr
& = lim {{sqrt n } over {sqrt {3 – {1 over n}} + sqrt {2 – {1 over n}} }} = + infty cr
& ext{ vì },lim sqrt n = + infty cr & ext{ và },lim left( {sqrt {3 – {1 over n}} + sqrt {2 – {1 over n}} } ight) = sqrt 3 + sqrt 2 > 0 cr} )

b. Chia cả tử và mẫu của u_n cho 5ⁿ ta được :

(lim {u_n} = lim {{{{left( {{4 over 5}} ight)}^n} – 1} over {{{left( {{2 over 5}} ight)}^n} + 3}} = – {1 over 3})

Vì (lim {left( {{2 over 5}} ight)^n} = 0; lim {left( {{4 over 5}} ight)^n} = 0)