Câu 45 trang 167 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm các giới hạn sau :...

Tìm các giới hạn sau :

a.  (mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{sqrt {{x^2} + x} – sqrt x } over {{x^2}}})

b.  (mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} x{{sqrt {1 – x} } over {2sqrt {1 – x} + 1 – x}})

c.  (mathop {lim }limits_{x o {3^ – }} {{3 – x} over {sqrt {27 – {x^3}} }})

d.  (mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {{sqrt {{x^3} – 8} } over {{x^2} – 2x}})

Giải:

 a.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{sqrt {{x^2} + x} – sqrt x } over {{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {x^2 over {{x^2}left( {sqrt {{x^2} + x} + sqrt x } ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {1 over {left( {sqrt {{x^2} + x} + sqrt x } ight)}} = + infty cr} )

b.  (mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} x{{sqrt {1 – x} } over {2sqrt {1 – x} + 1 – x}} = mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} {x over {2 + sqrt {1 – x} }} = {1 over 2})

c.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {3^ – }} {{3 – x} over {sqrt {27 – {x^3}} }} = mathop {lim }limits_{x o {3^ – }} {{{{left( {sqrt {3 – x} } ight)}^2}} over {sqrt {left( {3 – x} ight)left( {{x^2} + 3x + 9} ight)} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {3^ – }} {{sqrt {3 – x} } over {sqrt {{x^2} + 3x + 9} }} = 0 cr} )

d.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {{sqrt {{x^3} – 8} } over {{x^2} – 2x}} = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {{sqrt {left( {x – 2} ight)left( {{x^2} + 2x + 4} ight)} } over {xleft( {x – 2} ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {1 over x}sqrt {{{{x^2} + 2x + 4} over {x – 2}}} = + infty cr} )

Vì 

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} sqrt {{x^2} + 2x + 4} = 2sqrt 3 cr
& mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} xsqrt {x – 2} = 0;,xsqrt {x – 2} > 0,forall x > 2 cr} )