Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

Chứng minh rằng :

a. Hàm số (fleft( x ight) = {x^4} - {x^2} + 2) liên tục trên (mathbb R)

b. Hàm số (fleft( x ight) = {1 over {sqrt {1 - {x^2}} }}) liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;

c. Hàm số (fleft( x ight) = sqrt {8 - 2{x^2}} ) liên tục trên đoạn [-2 ; 2];

d. Hàm số (fleft( x ight) = sqrt {2x - 1} ) liên tục trên nửa khoảng  (left[ {{1 over 2}; + infty } ight))

Giải:

a. Hàm số (fleft( x ight) = {x^4} - {x^2} + 2) xác định trên (mathbb R). Với mọi (x_0inmathbb R) ta có:

(mathop {lim }limits_{x o {x_0}} = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} left( {{x^4} - {x^2} + 2} ight) = x_0^4 - x_0^2 + 2 = fleft( {{x_0}} ight))

Vậy f liên tục tại x₀ nên f liên tục trên (mathbb R).

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

(1 - {x^2} > 0 Leftrightarrow - 1 < x < 1)

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi x₀ϵ (-1 ; 1), ta có :  (mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} {1 over {sqrt {1 - {x^2}} }} = {1 over {sqrt {1 - x_0^2} }} = fleft( {{x_0}} ight))

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x₀. Do đó f liên tục trên khoảng  (-1 ; 1)

c. Hàm số (fleft( x ight) = sqrt {8 - 2{x^2}} ) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi ({x_0} in left( { - 2;2} ight)) , ta có:  (mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( x ight) = sqrt {8 - 2x_0^2} = fleft( {{x_0}} ight))

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :

(mathop {lim }limits_{x o {{left( { - 2} ight)}^ + }} fleft( x ight) = sqrt {8 - 2{{left( { - 2} ight)}^2}} = 0 = fleft( { - 2} ight))

và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { 2} ight)}^ - }} = sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = fleft( 2 ight))

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d. Hàm số (fleft( x ight) = sqrt {2x - 1} ) xác định trên nửa khoảng  (left[ {{1 over 2}; + infty } ight))

Với ({x_0} in left( {{1 over 2}; + infty } ight)) ta có  (mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} sqrt {2x - 1} = sqrt {2{x_0} - 1} = fleft( {{x_0}} ight))

Nên hàm số liên tục trên khoảng  (left( {{1 over 2}; + infty } ight))

Mặt khác ta có  (mathop {lim }limits_{x o {{{1 over 2}}^ + }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {{{1 over 2}}^ + }} sqrt {2x - 1} = 0 = fleft( {{1 over 2}} ight))

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng  (left[ {{1 over 2}; + infty } ight))

soanbailop6.com