Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

Chứng minh rằng :

a. Hàm số

(fleft( x ight) = left{ {matrix{{{{left( {x + 1} ight)}^2}, ext{ với },x le 0} cr {{x^2} + 2, ext{ với },x > 0} cr} } ight.)

Gián đoạn tại điểm x = 0

b. Mỗi hàm số

(gleft( x ight) = sqrt {x - 3} , ext{ và },hleft( x ight) = left{ {matrix{{{1 over {x - 2}}, ext{ với },x le 1} cr { - {1 over x}, ext{ với },x > 1} cr} } ight.)

liên tục trên tập xác định của nó.

Giải:

a. Ta có:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} left( {{x^2} + 2} ight) = 2 cr
& mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {0^ - }} {left( {x + 1} ight)^2} = 1 cr} )

Suy ra hàm số f gián đoạn tại (x = 0)

b. Tập xác định của hàm số  (gleft( x ight) = sqrt {x - 3} ) là (left[ {3; + infty } ight))

Với x₀> 3 ta có  (mathop {lim }limits_{x o {x_0}} gleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} sqrt {x - 3} = sqrt {{x_0} - 3} = gleft( {{x_0}} ight))

Nên g liên tục trên khoảng (left( {3; + infty } ight),) ngoài ra :

(mathop {lim }limits_{x o {3^ + }} gleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {3^ + }} sqrt {x - 3} = 0 = gleft( 3 ight))

Vậy g liên tục trên  (left[ {3; + infty } ight))

*Tập xác định của hàm số 

(hleft( x ight) = left{ {matrix{{{1 over {x - 2}}, ext{ với },x le 1} cr { - {1 over x}, ext{ với },x > 1} cr} , ext{ là },mathbb R} ight.)

Rõ ràng h liên tục trên ((-∞; 1)) và trên ((1 ; +∞)) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)

Tại x₀ = 1 ta có :

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} hleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} {1 over {x - 2}} = - 1;cr &mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} hleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{ - 1} over x} = - 1 cr
& Rightarrow mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} hleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} hleft( x ight) = hleft( 1 ight) cr &Rightarrow h, ext{ liên tục tại }x = 1 cr} )

Vậy h liên tục trên (mathbb R). 

soanbailop6.com