Câu 51 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải thích vì sao :

Giải thích vì sao :

a. Hàm số (fleft( x ight) = {x^2}sin x - 2{cos ^2}x + 3) liên tục trên (mathbb R).

b. Hàm số (gleft( x ight) = {{{x^3} + xcos x + sin x} over {2sin x + 3}}) liên tục trên (mathbb R)

c. Hàm số (hleft( x ight) = {{left( {2x + 1} ight)sin x - {{cos }^3}x} over {xsin x}}) liên tục tại mọi điểm (x ≠ kπ, k inmathbb Z).

Giải

a. Với mọi (x_0in mathbb R), ta có:

(mathop {lim }limits_{x o {x_0}} {x^2} = x_0^2,mathop {lim }limits_{x o {x_0}}sin x= sin {x_0})

( ext{ và },mathop {lim }limits_{x o {x_0}} cos x = cos {x_0})

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do đó :

(mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} left( {{x^2}{mathop{ m sinx} olimits} - 2co{s^2}x + 3} ight) )

(= x_0^2sin {x_0} - 2{cos ^2}{x_0} + 3 = fleft( {{x_0}} ight))

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm (x_0inmathbb R).

Do đó hàm số f liên tục trên (mathbb R).

b. Tập xác định của g là (mathbb R)

Với mọi (x_0inmathbb R) ta có:

(mathop {lim }limits_{x o {x_0}} {x^3} = x_0^3,mathop {lim }limits_{x o {x_0}} sin x = sin {x_0},mathop {lim }limits_{x o {x_0}} cos x = cos {x_0})

Do đó  (mathop {lim }limits_{x o {x_0}} gleft( x ight) = {{x_0^3 + {x_0}cos {x_0} + sin {x_0}} over {2sin {x_0} + 3}} = gleft( {{x_0}} ight))

Vậy hàm số g liên tục tại mọi (x_0inmathbb R).

Do đó g liên tục trên (mathbb R).

c. Tương tự b, (∀ x_0 ≠ kπ, k inmathbb Z)

(mathop {lim }limits_{x o {x_0}} hleft( x ight) = {{left( {2{x_0} + 1} ight)sin {x_0} - {{cos }^3}{x_0}} over {{x_0}sin {x_0}}} = hleft( {{x_0}} ight))

Vậy hàm số h liên tục tại mọi (x_0inmathbb R).

Do đó h liên tục trên (mathbb R).

soanbailop6.com