Câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng :...

Chứng minh rằng :

a. Các hàm số (fleft( x ight) = {x^3} – x + 3, ext {và },gleft( x ight) = {{{x^3} – 1} over {{x^2} + 1}}) liên tục tại mọi điểm (x inmathbb R).

b. Hàm số  (fleft( x ight) = left{ {matrix{{{{{x^2} – 3x + 2} over {x – 2}}, ext{ với},x e 2,} cr {1, ext{ với},x = 2} cr} } ight.)

liên tục tại điểm (x = 2)

c. Hàm số  (fleft( x ight) = left{ {matrix{{{{{x^3} – 1} over {x – 1}}, ext{ với},x e 1} cr {2, ext{ với},x = 1} cr} } ight.)

gián đoạn tại điểm (x = 1)

Giải:

a. Hàm số (fleft( x ight) = {x^3} – x + 3) xác định trên (mathbb R). Với mọi (x_0inmathbb R), ta có:

(mathop {lim }limits_{x o {x_0}} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {x_0}} left( {{x^3} – x + 3} ight) = x_0^3 – {x_0} + 3 = fleft( {{x_0}} ight))

Vậy f liên tục tại điểm x₀. Do đó hàm số f liên tục trên (mathbb R).

Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định (D=mathbb R).

b. Với mọi (x ≠ 2), ta có:

(fleft( x ight) = {{{x^2} – 3x + 2} over {x – 2}} = {{left( {x – 1} ight)left( {x – 2} ight)} over {x – 2}} = x – 1)

Do đó  (mathop {lim }limits_{x o 2} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o 2} left( x-1 ight) = 1 = fleft( 2 ight))

Vậy hàm số f liên tục tại điểm (x = 2)

c) Với mọi  (x ≠ 1), ta có:

(f(x) = {{{x^3} – 1} over {x – 1}} = {x^2} + x + 1)

Do đó (mathop {lim }limits_{x o 1} f(x) = mathop {lim }limits_{x o 1} ,({x^2} + x + 1) = 3 e 2 = f(1))

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm (x = 1)