Câu 40 trang 166 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm các giới hạn sau :...

Tìm các giới hạn sau :

a.  (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} left( {{x^3} + 1} ight)sqrt {{x over {{x^2} – 1}}} )

b.  (mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {x + 2} ight)sqrt {{{x – 1} over {{x^3} + x}}} )

Giải:

a. Dạng 0.∞

Với (x > -1) đủ gần -1 ((-1 < x < 0)) ta có :

(eqalign{
& left( {{x^3} + 1} ight)sqrt {{x over {{x^2} – 1}}} cr &= left( {{x^2} – x + 1} ight)left( {x + 1} ight).sqrt {{x over {{x^2} – 1}}} cr
& = left( {{x^2} – x + 1} ight)sqrt {{{xleft( {x + 1} ight)} over {x – 1}}} cr
& Rightarrow mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} left( {{x^3} + 1} ight)sqrt {{x over {{x^2} – 1}}}cr & ;;= mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} left( {{x^2} – x + 1} ight)sqrt {{{xleft( {x + 1} ight)} over {x – 1}}} = 0 cr} )

b. Dạng 0.∞

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {x + 2} ight)sqrt {{{x – 1} over {{x^3} + x}}} cr &= mathop {lim }limits_{x o + infty } sqrt {{{{{left( {x + 2} ight)}^2}left( {x – 1} ight)} over {{x^3} + x}}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o + infty } sqrt {{{{{left( {1 + {2 over x}} ight)}^2}left( {1 – {1 over x}} ight)} over {1 + {1 over {{x^2}}}}}} = 1 cr} )