Câu 28 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm các giới hạn sau :...

Tìm các giới hạn sau :

a.  (mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{x + 2sqrt x } over {x – sqrt x }})

b.  (mathop {lim }limits_{x o {2^ – }} {{4 – {x^2}} over {sqrt {2 – x} }})

c.  (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} over {sqrt {{x^5} + {x^4}} }})

d.  (mathop {lim }limits_{x o {3^ – }} {{sqrt {{x^2} – 7x + 12} } over {sqrt {9 – {x^2}} }})

Giải

a. Với (x > 0), ta có :  ({{x + 2sqrt x } over {x – sqrt x }} = {{sqrt x left( sqrt x + 2  ight)} over {sqrt x left( {sqrt x – 1} ight)}} = {{sqrt x + 2} over {sqrt x – 1}})

do đó :  (mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{x + 2sqrt x } over {x – sqrt x }} = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{sqrt x + 2} over {sqrt x – 1}} = {2 over { – 1}} = – 2)

b. Với (x < 2), ta có :  ({{4 – {x^2}} over {sqrt {2 – x} }} = {{left( {2 – x} ight)left( {2 + x} ight)} over {sqrt {2 – x} }} = left( {x + 2} ight)sqrt {2 – x} )

Do đó  (mathop {lim }limits_{x o {2^ – }} {{4 – {x^2}} over {sqrt {2 – x} }} = mathop {lim }limits_{x o {2^ – }} left( {x + 2} ight)sqrt {2 – x} = 0)

c. Với mọi (x > -1)

({{{x^2} + 3x + 2} over {sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = {{left( {x + 1} ight)left( {x + 2} ight)} over {{x^2}sqrt {x + 1} }} = {{sqrt {x + 1} left( {x + 2} ight)} over {{x^2}}})

Do đó  (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} over {sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} {{sqrt {x + 1} left( {x + 2} ight)} over {{x^2}}} = 0)

d. Với (-3 < x < 3)

({{sqrt {{x^2} – 7x + 12} } over {sqrt {9 – {x^2}} }} = {{sqrt {left( {3 – x} ight)left( {4 – x} ight)} } over {sqrt {left( {3 – x} ight)left( {3 + x} ight)} }} = {{sqrt {4 – x} } over {sqrt {3 + x} }})

Do đó  (mathop {lim }limits_{x o {3^ – }} {{sqrt {{x^2} – 7x + 12} } over {sqrt {9 – {x^2}} }} = {1 over {sqrt 6 }} = {{sqrt 6 } over 6})