Câu 43 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Tìm các giới hạn sau :...

Tìm các giới hạn sau :

a.  (mathop {lim }limits_{x o – sqrt 3 } {{{x^3} + 3sqrt 3 } over {3 – {x^2}}})

b.  (mathop {lim }limits_{x o 4} {{sqrt x – 2} over {{x^2} – 4x}})

c.  (mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{sqrt {x – 1} } over {{x^2} – x}})

d.  (mathop {lim }limits_{x o 0} {{sqrt {{x^2} + x + 1} – 1} over {3x}})

Giải:

a. Ta có:  ({{{x^3} + 3sqrt 3 } over {3 – {x^2}}} = {{left( {x + sqrt 3 } ight)left( {{x^2} – xsqrt 3 + 3} ight)} over {left( {x + sqrt 3 } ight)left( {sqrt 3 – x} ight)}} = {{{x^2} – xsqrt 3 + 3} over {sqrt 3 – x}})

với (,x e – sqrt 3 )

Do đó :  (mathop {lim }limits_{x o – sqrt 3 } {{{x^3} + 3sqrt 3 } over {3 – {x^2}}} =mathop {lim }limits_{x o – sqrt 3 } {{{x^2} – xsqrt 3 + 3} over {sqrt 3 – x}}= {9 over {2sqrt 3 }} = {{3sqrt 3 } over 2})

b.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o 4} {{sqrt x – 2} over {{x^2} – 4x}} = mathop {lim }limits_{x o 4} {{sqrt x – 2} over {xleft( {x – 4} ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o 4} {1 over {xleft( {sqrt x + 2} ight)}} = {1 over {16}} cr} )

c.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{sqrt {x – 1} } over {{x^2} – x}} = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{sqrt {x – 1} } over {xleft( {x – 1} ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {1 over {xsqrt {x – 1} }} = + infty cr} )

d.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o 0} {{sqrt {{x^2} + x + 1} – 1} over {3x}} = mathop {lim }limits_{x o 0} {{{x^2} + x + 1 – 1} over {3x(sqrt {{x^2} + x + 1} + 1)}} cr
& = {1 over 3}mathop {lim }limits_{x o 0} {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} + 1}} = {1 over 6} cr} )