Câu 4 trang 93 SGK Hình học 10

Câu 4 trang 93 SGK Hình học 10

Cho đường thẳng Δ: x – y + 2 và hai điểm O(0, 0); A(2, 0)

Bài 4. Cho đường thẳng (Δ: x – y + 2) và hai điểm (O(0; 0); A(2; 0))

a) Tìm điểm đối xứng của (O) qua (Δ)

b) Tìm điểm (M) trên (Δ) sao cho độ dài đường gấp khúc (OMA) ngắn nhất.

Trả lời:

a) Gọi (H) là hình chiếu của (O) trên (Δ, H) là giao điểm của đường thẳng qua (O) và vuông góc với (Δ).

(overline {OH}  = (x;y))

( Δ: x – y + 2 = 0) có vecto chỉ phương (overrightarrow u (1;1))

 (overrightarrow {OH}  ot Delta  Rightarrow 1.x + 1.y = 0 Leftrightarrow x + y = 0)

Tọa độ điểm (H) là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ matrix{
x + y = 0 hfill cr
x - y + 2 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow H( - 1;1))

Gọi (O’) là đỉnh đối xứng của (O) qua (Δ) thì (H) là trung điểm của đoạn thẳng (OO’)

(eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} over 2} Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} over 2} Rightarrow {x_{O'}} = - 2 cr
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} over 2} Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} over 2} Rightarrow {y_{O'}} = 2 cr} )

Vậy (O’(-2;2)).

b) Nối (O’A) cắt (Δ) tại (M)

Ta có: (OM = O’M)

(⇒ OM + MA = O’M + MA = O’A)

 

Giả sử trên (Δ) có một điểm (M’ ≠ M), ta có ngay:

(OM’ +M’A > O’A)

Vậy điểm (M), giao điểm của (O’A) với (Δ), chính là điểm thuộc (Δ) mà độ dài của đường gấp khúc (OMA) ngắn nhất.

(A(2; 0); O(-2; 2)) nên (O’A) có hệ phương trình: (x + 2y – 2 = 0)

Tọa độ của điểm (M) là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x + 2y - 2 = 0 hfill cr
x - y + 2 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow M( - {2 over 3},{4 over 3}))

soanbailop6.com