Câu 4.17 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

Chứng minh rằng nếu (left| q ight| < 1) thì (lim {q^n} = 0)

H.D. Xét trường hợp (0 < q < 1.) Khi đó (p = {1 over q} > 1.) Do đó

(p = 1 + h) với (h = p - 1 > 0) và ({1 over {{q^n}}} = {p^n} = {left( {1 + h} ight)^n} ge 1 + nh) với mọi n

Giải

Chỉ cần chứng minh cho trường hợp (0 < q < 1.) Khi đó, đặt (p = {1 over q},) ta được (p > 1.) Do đó

                        (p = 1 + h) với (h = p - 1 > 0)

Ta có

      ({1 over {{q^n}}} = {p^n} = {left( {1 + h} ight)^n} ge 1 + nh > nh) với mọi n

Do đó

                        (0 < {q^n} < {1 over h}.{1 over n}) với mọi n

Vì (lim {1 over n} = 0) nên từ đó suy ra

                        (lim {q^n} = 0)

Sachbaitap.com