Câu 4.27 trang 210 sách bài tập – Giải tích 12: Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy...

 Biết z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình (2{x^2} + sqrt 3 x + 3 = 0) . Hãy tính:

a) (z_1^2 + z_2^2)                             b) (z_1^3 + z_2^3)           

c) (z_1^4 + z_2^4)                          d) ({{{z_1}} over {{z_2}}} + {{{z_2}} over {{z_1}}})

Hướng dẫn làm bài

Ta có: ({z_1} + {z_2} =  – {{sqrt 3 } over 2},{z_1}.{z_2} = {3 over 2})  . Từ đó suy ra:

a) (z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} – 2{z_1}{z_2} = {3 over 4} – 3 =  – {9 over 4})

b) (z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 – {z_1}{z_2} + z_2^2))

(=  – {{sqrt 3 } over 2}( – {9 over 4} – {3 over 2}) = {{15sqrt 3 } over 8})

c) (z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) – 2z_1^2.z_2^2 = {( – {9 over 4})^2} – 2.{({3 over 2})^2} = {9 over {16}})

d) ({{{z_1}} over {{z_2}}} + {{{z_2}} over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} over {{z_1}.{z_2}}} = {{ – {9 over 4}} over {{3 over 2}}} =  – {3 over 2}).