Câu 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 trang 54, 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình và so sánh kết quả tìm được.

Câu 4.1 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) (4{x^2} - 9 = 0)

b) (5{x^2} + 20 = 0)

c) (2{x^2} - 2 + sqrt 3  = 0)

d) (3{x^2} - 12 + sqrt {145}  = 0)

Giải

a)

(eqalign{
& 4{x^2} - 9 = 0 cr
& Leftrightarrow 4{x^2} = 9 cr
& Leftrightarrow {x^2} = {9 over 4} Leftrightarrow x = pm {3 over 2} cr} )

Phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = {3 over 2};{x_2} =  - {3 over 2})

(eqalign{
& Delta = {0^2} - 4.4.left( { - 9} ight) = 144 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {144} = 12 cr
& {x_1} = {{0 + 12} over {2.4}} = {{12} over 8} = {3 over 2} cr
& {x_2} = {{0 - 12} over {2.4}} = {{ - 12} over 8} = - {3 over 2} cr} )

b) (5{x^2} + 20 = 0 Leftrightarrow 5{x^2} =  - 20)

Vế trái (5{x^2} ge 0); vế phải -20 < 0

Không có giá trị nào của x để (5{x^2} =  - 20)

Phương trình vô nghiệm.

(Delta  = {0^2} - 4.5.20 =  - 400 < 0.) Phương trình vô nghiệm.

c)

(eqalign{
& 2{x^2} - 2 + sqrt 3 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - sqrt 3 cr
& Leftrightarrow {x^2} = {{2 - sqrt 3 } over 2} cr
& Leftrightarrow left| x ight| = sqrt {{{2 - sqrt 3 } over 2}} = sqrt {{{4 - 2sqrt 3 } over 4}} cr
& = {{sqrt {4 - 2sqrt 3 } } over 2} = {{sqrt {{{left( {sqrt 3 - 1} ight)}^2}} } over 2} = {{sqrt 3 - 1} over 2} cr} )

Phương trình có hai nghiệm:

({x_1} = {{sqrt 3  - 1} over 2};{x_2} =  - {{sqrt 3  - 1} over 2} = {{1 - sqrt 3 } over 2})

(eqalign{
& Delta = {0^2} - 4.2left( { - 2 + sqrt 3 } ight) = 16 - 8sqrt 3 cr
& = 4left( {4 - 2sqrt 3 } ight) = 4{left( {sqrt 3 - 1} ight)^2} > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {4{{left( {sqrt 3 - 1} ight)}^2}} = 2left( {sqrt 3 - 1} ight) cr
& {x_1} = {{0 + 2left( {sqrt 3 - 1} ight)} over {2.2}} = {{sqrt 3 - 2} over 2} cr
& {x_2} = {{0 - 2left( {sqrt 3 - 1} ight)} over {2.2}} = {{ - left( {sqrt 3 - 1} ight)} over 2} = {{1 - sqrt 3 } over 2} cr} )

d)

(eqalign{
& 3{x^2} - 12 + sqrt {145} = 0 cr
& Leftrightarrow 3{x^2} = 12 - sqrt {145} cr
& Leftrightarrow {x^2} = {{12 - sqrt {145} } over 3} cr} )

Vì (12 = sqrt {144} ;sqrt {144}  < sqrt {145}  Rightarrow {{12 - sqrt {145} } over 3} < 0)

Phương trình vô nghiệm.

(Delta  = {0^2} - 4.3left( { - 12 + sqrt {145} } ight) =  - 12left( {sqrt {145}  - 12} ight))

Vì (sqrt {145}  - 12 > 0 Rightarrow  - 12left( {sqrt {145}  - 12} ight) < 0)

( Rightarrow Delta  < 0.) Phương trình vô nghiệm.

Câu 4.2 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng hai cách (phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) (5{x^2} - 3x = 0)

b) (3sqrt 5 {x^2} + 6x = 0)

c) (2{x^2} + 7x = 0)

d) (2{x^2} - sqrt 2 x = 0)

Giải

a)

(eqalign{
& 5{x^2} - 3x = 0 cr
& Leftrightarrow xleft( {5x - 3} ight) = 0 cr} )

⇔ x = 0 hoặc 5x – 3 =0

⇔ x = 0 hoặc (x = {3 over 5}.) Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = 0;{x_2} = {3 over 5})

(eqalign{
& Delta = {left( { - 3} ight)^2} - 4.5.0 = 9 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt 9 = 3 cr
& {x_1} = {{3 + 3} over {2.5}} = {6 over {10}} = {3 over 5} cr
& {x_2} = {{3 - 3} over {2.5}} = {0 over {10}} = 0 cr} )

b)

(eqalign{
& 3sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 cr
& Leftrightarrow 3xleft( {sqrt 5 x + 2} ight) = 0 cr} )

⇔ x = 0 hoặc (sqrt 5 x + 2 = 0)

⇔ x = 0 hoặc (x =  - {{2sqrt 5 } over 5})

Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = 0;{x_2} =  - {{2sqrt 5 } over 5})

(eqalign{
& Delta = {6^2} - 4.3sqrt 5 .0 = 36 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {36} = 6 cr
& {x_1} = {{ - 6 + 6} over {2.3sqrt 5 }} = {0 over {6sqrt 5 }} = 0 cr
& {x_2} = {{ - 6 - 6} over {2.3sqrt 5 }} = {{ - 12} over {6sqrt 5 }} = - {{2sqrt 5 } over 5} cr} )

c)

(eqalign{
& 2{x^2} + 7x = 0 cr
& Leftrightarrow xleft( {2x + 7} ight) = 0 cr} )

⇔ x = 0 hoặc 2x + 7 = 0

⇔ x = 0 hoặc (x =  - {7 over 2})

Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = 0;{x_2} =  - {7 over 2})

(eqalign{
& Delta = {7^2} - 4.2.0 = 49 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {49} = 7 cr
& {x_1} = {{ - 7 + 7} over {2.2}} = {0 over 4} = 0 cr
& {x_2} = {{ - 7 - 7} over {2.2}} = {{ - 14} over 4} = - {7 over 2} cr} )

d)

(eqalign{
& 2{x^2} - sqrt 2 x = 0 cr
& Leftrightarrow xleft( {2x - sqrt 2 } ight) = 0 cr} )

⇔ x = 0 hoặc (2x - sqrt 2  = 0)

⇔ x = 0 hoặc (x = {{sqrt 2 } over 2})

(eqalign{
& Delta = {left( { - sqrt 2 } ight)^2} - 4.2.0 = 2 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt 2 cr
& {x_1} = {{sqrt 2 + sqrt 2 } over {2.2}} = {{2sqrt 2 } over 4} = {{sqrt 2 } over 2} cr
& {x_2} = {{sqrt 2 - sqrt 2 } over {2.2}} = {0 over 4} = 0 cr} )

Câu 4.3 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) ({x^2} = 14 - 5x)

b) (3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2)

c) ({left( {x + 2} ight)^2} = 3131 - 2x)

d) ({{{{left( {x + 3} ight)}^2}} over 5} + 1 = {{{{left( {3x - 1} ight)}^2}} over 5} + {{xleft( {2x - 3} ight)} over 2})

Giải

a) ({x^2} = 14 - 5x Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0)

(eqalign{
& Delta = {5^2} - 4.1.left( { - 14} ight) = 25 + 56 = 81 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {81} = 9 cr
& {x_1} = {{ - 5 + 9} over {2.1}} = {4 over 2} = 2 cr
& {x_2} = {{ - 5 - 9} over {2.1}} = {{ - 14} over 2} = - 7 cr} )

b)

(eqalign{
& 3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2 = 0 Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 cr
& Delta = {left( { - 1} ight)^2} - 4.1.1 = 1 - 4 = - 3 < 0 cr} )

Phương trình vô nghiệm

c)

(eqalign{
& {left( {x + 2} ight)^2} = 3131 - 2x cr
& Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x - 3131 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3127 = 0 cr
& Delta = {6^2} - 4.1.left( { - 3127} ight) = 36 + 12508 = 12544 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {12544} = 112 cr
& {x_1} = {{ - 6 + 112} over {2.1}} = {{106} over 2} = 53 cr
& {x_2} = {{ - 6 - 112} over {2.1}} = - 59 cr} )

d)

(eqalign{
& {{{{left( {x + 3} ight)}^2}} over 5} + 1 = {{{{left( {3x - 1} ight)}^2}} over 5} + {{xleft( {2x - 3} ight)} over 2} cr
& Leftrightarrow 2{left( {x + 3} ight)^2} + 10 = 2{left( {3x - 1} ight)^2} + 5xleft( {2x - 3} ight) cr
& Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} - 12x + 2 + 10{x^2} - 15x cr
& Leftrightarrow 26{x^2} - 39x - 26 = 0 cr
& Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 cr
& Delta = {left( { - 3} ight)^2} - 4.2.left( { - 2} ight) = 9 + 16 = 25 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {25} = 5 cr
& {x_1} = {{3 + 5} over {2.2}} = {8 over 4} = 2 cr
& {x_2} = {{3 - 5} over {2.2}} = - {1 over 2} cr} )

Câu 4.4 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Chứng minh rằng nếu phương trình (a{x^2} + bx + c = x(a e 0)) vô nghiệm thì phương trình (a{left( {a{x^2} + bx + c} ight)^2} + bleft( {a{x^2} + bx + c} ight) + c = x) cũng vô nghiệm.

Phương trình (a{x^2} - bx + c = x(a e 0)) vô nghiệm.

( Rightarrow a{x^2} + left( {b - 1} ight)x + c = 0) vô nghiệm

(eqalign{
& Rightarrow Delta = {left( {b - 1} ight)^2} - 4ac < 0 cr
& Leftrightarrow {left( {b - 1} ight)^2} < 4ac cr
& Leftrightarrow 4ac - {left( {b - 1} ight)^2} > 0 cr} )

Suy ra: (fleft( x ight) - x = a{x^2} + left( {b - 1} ight)x + c)

(eqalign{
& = aleft( {{x^2} + {{b - 1} over a}x + {c over a}} ight) cr
& = aleft[ {{x^2} + 2.{{b - 1} over a}x + {{{{left( {b - 1} ight)}^2}} over {4{a^2}}} - {{{{left( {b - 1} ight)}^2}} over {4{a^2}}} + {c over a}} ight] cr
& = aleft[ {{{left( {x + {{b - 1} over {2a}}} ight)}^2} + {{4ac - {{left( {b - 1} ight)}^2}} over {4{a^2}}}} ight] cr} )

Vì ({left( {x + {{b - 1} over {2a}}} ight)^2} + {{4ac - {{left( {b - 1} ight)}^2}} over {4{a^2}}} > 0 Rightarrow fleft( x ight) - x) luôn cùng dấu với a.

Nếu a > 0 ( Rightarrow fleft( x ight) - x > 0 Rightarrow fleft( x ight) > x) với mọi x.

Suy ra: (a{left[ {fleft( x ight)} ight]^2} + bfleft( x ight) + c > fleft( x ight) > x) với mọi x.

Vậy không có giá trị nào của x để (a{left[ {fleft( x ight)} ight]^2} + bfleft( x ight) + c = x)

Nếu a < 0 ( Rightarrow fleft( x ight) - x < 0 Leftrightarrow fleft( x ight) < x) với mọi x

Suy ra: (a{left[ {fleft( x ight)} ight]^2} + bfleft( x ight) + c < fleft( x ight) < x) với mọi x.

Vậy không có giá trị nào của x để  (a{left[ {fleft( x ight)} ight]^2} + bfleft( x ight) + c = x)

Vậy phương trình (a{left( {a{x^2} + bx + c} ight)^2} + bleft( {a{x^2} + bx + c} ight) + c = x) vô nghiệm.

Sachbaitap.com