Câu 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 trang 52, 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm a, b, c để phương trình có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3. ...
Tìm a, b, c để phương trình có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3.
Câu 3.1 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Đưa các phương trình sau về dạng (a{x^2} + bx + c = 0) và xác định các hệ số a, b, c:
a) (4{x^2} + 2x = 5x - 7)
b) (5x - 3 + sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2})
c) (m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx)
d) (x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2)
Giải
a) (4{x^2} + 2x = 5x - 7 Leftrightarrow 4{x^2} - 3x + 7 = 0) có a = 4, b = -3, c = 7
b)
(eqalign{
& 5x - 3 + sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2} cr
& Leftrightarrow left( {sqrt 5 - 1}
ight){x^2} + 2x + 1 = 0 cr
& a = sqrt 5 - 1;b = 2;c = 1 cr} )
c) (m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx Leftrightarrow left( {m - 1} ight){x^2} - left( {3 - m} ight)x + 5 = 0)
(m - 1 e ) nó là phương trình bậc hai có a = m – 1; b = - (3 – m ); c = 5
d)
(eqalign{
& x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 cr
& Leftrightarrow left( {{m^2} - 1}
ight){x^2} + left( {1 - m}
ight)x - 2 = 0 cr} )
({m^2} - 1 e 0) nó là phương trình bậc hai có (a = {m^2} - 1,b = 1 - m,c = - 2)
Câu 3.2 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:
a) ({x^2} - 3x + 1 = 0)
b) ({x^2} + sqrt 2 x - 1 = 0)
c) (5{x^2} - 7x + 1 = 0)
d) (3{x^2} + 2sqrt 3 x - 2 = 0)
Giải
a) ({x^2} - 3x + 1 = 0 Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 over 2}x + {9 over 4} = {9 over 4} - 1)
( Leftrightarrow {left( {x - {3 over 2}} ight)^2} = {5 over 4} Leftrightarrow left| {x - {3 over 2}} ight| = {{sqrt 5 } over 2})
( Leftrightarrow x - {3 over 2} = {{sqrt 5 } over 2}) hoặc (x - {3 over 2} = - {{sqrt 5 } over 2})
( Leftrightarrow x = {{3 + sqrt 5 } over 2}) hoặc (x = {{3 - sqrt 5 } over 2})
Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = {{3 + sqrt 5 } over 2};{x_2} = {{3 - sqrt 5 } over 2})
b) ({x^2} + sqrt 2 x - 1 = 0 Leftrightarrow {x^2} + 2.{{sqrt 2 } over 2}x + {left( {{{sqrt 2 } over 2}} ight)^2} = 1 + {left( {{{sqrt 2 } over 2}} ight)^2})
( Leftrightarrow {left( {x + {{sqrt 2 } over 2}} ight)^2} = {3 over 2} Leftrightarrow left| {x + {{sqrt 2 } over 2}} ight| = {{sqrt 6 } over 2})
( Leftrightarrow x + {{sqrt 2 } over 2} = {{sqrt 6 } over 2}) hoặc (x + {{sqrt 2 } over 2} = - {{sqrt 6 } over 2})
( Leftrightarrow x = {{ - sqrt 2 + sqrt 6 } over 2}) hoặc (x = - {{sqrt 2 + sqrt 6 } over 2})
Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = {{ - sqrt 2 + sqrt 6 } over 2};{x_2} = - {{sqrt 2 + sqrt 6 } over 2})
c)
(eqalign{
& 5{x^2} - 7x + 1 = 0 Leftrightarrow {x^2} - {7 over 5}x + {1 over 5} = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - 2.{7 over {10}}x + {{49} over {100}} = {{49} over {100}} - {1 over 5} cr
& Leftrightarrow {left( {x - {7 over {10}}}
ight)^2} = {{29} over {100}} Leftrightarrow left| {x - {7 over {10}}}
ight| = {{sqrt {29} } over {10}} cr} )
( Leftrightarrow x - {7 over {10}} = {{sqrt {29} } over {10}}) hoặc (x - {7 over {10}} = - {{sqrt {29} } over {10}})
( Leftrightarrow x = {{7 + sqrt {29} } over {10}}) hoặc (x = {{7 - sqrt {29} } over {10}})
Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = {{7 + sqrt {29} } over {10}};{x_2} = {{7 - sqrt {29} } over {10}})
d)
(eqalign{
& 3{x^2} + 2sqrt 3 x - 2 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + 2.{{sqrt 3 } over 3}x - {2 over 3} = 0 cr
& Leftrightarrow x + 2.{{sqrt 3 } over 3}x + {left( {{{sqrt 3 } over 3}}
ight)^2} = {2 over 3} + {left( {{{sqrt 3 } over 3}}
ight)^2} cr
& Leftrightarrow {left( {x + {{sqrt 3 } over 3}}
ight)^2} = 1 cr
& Leftrightarrow left| {x + {{sqrt 3 } over 3}}
ight| = 1 cr} )
( Leftrightarrow x + {{sqrt 3 } over 3} = 1) hoặc (x + {{sqrt 3 } over 3} = - 1)
( Leftrightarrow x = 1 - {{sqrt 3 } over 3}) hoặc (x = - 1 - {{sqrt 3 } over 3})
Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = 1 - {{sqrt 3 } over 3};{x_2} = - 1 - {{sqrt 3 } over 3})
Câu 3.3 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm b, c để phương trình ({x^2} + bx + c = 0) có hai nghiệm là những số dưới đây:
a) ({x_1} = - 1) và ({x_2} = 2)
b) x1 = -5 và x2 = 0
c) ({x_1} = 1 + sqrt 2 ) và ({x_2} = 1 - sqrt 2 )
d) x1 = 3 và ({x_2} = - {1 over 2})
Giải
a) Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình:
(eqalign{
& left( {x + 1}
ight)left( {x - 2}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 cr} )
Hệ số: b = -1; c = -2.
b) Hai số - 5 và 0 là nghiệm của phương trình:
(eqalign{
& left( {x + 5}
ight)left( {x + 0}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow xleft( {x + 5}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 cr} )
Hệ số: b = 5; c = 0
c) Hai số (1 + sqrt 2 ) và (1 - sqrt 2 ) là nghiệm của phương trình:
(eqalign{
& left[ {x - left( {1 + sqrt 2 }
ight)}
ight]left[ {x - left( {1 - sqrt 2 }
ight)}
ight] = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - left( {1 - sqrt 2 }
ight)x - left( {1 + sqrt 2 }
ight)x + left( {1 + sqrt 2 }
ight)left( {1 - sqrt 2 }
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 cr} )
Hệ số: b = -2; c = -1
d) Hai số 3 và ( - {1 over 2}) là nghiệm của phương trình:
(eqalign{
& left( {x - 3}
ight)left( {x + {1 over 2}}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + {1 over 2}x - 3x - {3 over 2} = 0 cr
& Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 cr} )
Hệ số: b = -5; c = -3
Câu 3.4 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm a, b, c để phương trình (a{x^2} + bx + c = 0) có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3.
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Giải
x = -2 là nghiệm của phương trình: (a{x^2} + bx + c = 0), ta có:
(4a - 2b + c = 0)
x = 3 là nghiệm của phương trình: (a{x^2} + bx + c = 0) ta có:
(9a + 3b + c = 0)
Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{4a - 2b + c = 0} cr
{9a + 3b + c = 0} cr
} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{5a + 5b = 0} cr
{4a - 2b + c = 0} cr
} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = - a} cr
{4a - 2left( { - a}
ight) + c = 0} cr
} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = - a} cr
{c = - 6a} cr} }
ight. cr} )
Vậy với mọi a ≠ 0 ta có:
(left{ {matrix{
a cr
{b = - a} cr
{c = - 6a} cr} }
ight.)
thì phương trình (a{x^2} + bx + c = 0) có nghiệm x1 = -2; x2 = 3
Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:
(eqalign{
& 2{x^2} - 2x - 12 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 cr
& Leftrightarrow left( {x + 2}
ight)left( {x - 3}
ight) = 0 cr} )
Có nghiệm: ({x_1} = - 2;{x_2} = 3)
Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Sachbaitap.com
