Câu 28 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau.

Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:

a) ({x^2} + 2 + 2sqrt 2 ) và (2left( {1 + sqrt 2 } ight)x)

b) (sqrt 3 {x^2} + 2x - 1) và (2sqrt 3 x + 3)

c) ( - 2sqrt 2 x - 1) và (sqrt 2 {x^2} + 2x + 3)

d) ({x^2} - 2sqrt 3 x - sqrt 3 ) và (2{x^2} + 2x + sqrt 3 )

e) (sqrt 3 {x^2} + 2sqrt 5 x - 3sqrt 3 ) và ( - {x^2} - 2sqrt 3 x + 2sqrt 5  + 1)?

Giải

a)

(eqalign{
& {x^2} + 2 + 2sqrt 2 = 2left( {1 + sqrt 2 } ight)x cr
& Leftrightarrow {x^2} - 2left( {1 + sqrt 2 } ight)x + 2 + 2sqrt 2 = 0 cr
& Delta ' = {left[ { - left( {1 + sqrt 2 } ight)} ight]^2} - 1.left( {2 + 2sqrt 2 } ight) cr
& = 1 + 2sqrt 2 + 2 - 2 - 2sqrt 2 = 1 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt 1 = 1 cr
& {x_1} = {{1 + sqrt 2 + 1} over 1} = 2 + sqrt 2 cr
& {x_2} = {{1 + sqrt 2 - 1} over 1} = sqrt 2 cr} )

Vậy với (x = 2 + sqrt 2 ) hoặc (x = sqrt 2 ) thì hai biểu thức bằng nhau.

b)

(eqalign{
& sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2sqrt 3 x + 3 cr
& Leftrightarrow sqrt 3 {x^2} + left( {2 - 2sqrt 3 } ight)x - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow sqrt 3 {x^2} + 2left( {1 - sqrt 3 } ight)x - 4 = 0 cr
& Delta ' = {left( {1 - sqrt 3 } ight)^2} - sqrt 3 left( { - 4} ight) cr
& = 1 - 2sqrt 3 + 3 + 4sqrt 3 cr
& = 1 + 2sqrt 3 + 3 = {left( {1 + sqrt 3 } ight)^2} > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt {{{left( {1 + sqrt 3 } ight)}^2}} = 1 + sqrt 3 cr
& {x_1} = {{sqrt 3 - 1 + 1 + sqrt 3 } over {sqrt 3 }} = {{2sqrt 3 } over {sqrt 3 }} = 2 cr
& {x_2} = {{sqrt 3 - 1 - 1 - sqrt 3 } over {sqrt 3 }} = {{ - 2} over {sqrt 3 }} = {{ - 2sqrt 3 } over 3} cr} )

Vậy với x = 2 hoặc (x = {{ - 2sqrt 3 } over 3}) thì hai biểu thức đó bằng nhau.

c)

(eqalign{
& - 2sqrt 2 x - 1 = sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 cr
& Leftrightarrow sqrt 2 {x^2} + left( {2 + 2sqrt 2 } ight)x + 4 = 0 cr
& Leftrightarrow sqrt 2 {x^2} + 2left( {1 + sqrt 2 } ight)x + 4 = 0 cr
& Delta ' = {left( {1 + sqrt 2 } ight)^2} - sqrt 2 .4 cr
& = 1 + 2sqrt 2 + 2 - 4sqrt 2 cr
& = 1 - 2sqrt 2 + 2 = {left( {sqrt 2 - 1} ight)^2} > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt {{{left( {sqrt 2 - 1} ight)}^2}} = sqrt 2 - 1 cr
& {x_1} = {{ - 1 - sqrt 2 + sqrt 2 - 1} over {sqrt 2 }} = {{ - 2} over {sqrt 2 }} = - sqrt 2 cr
& {x_2} = {{ - 1 - sqrt 2 - sqrt 2 + 1} over {sqrt 2 }} = {{ - 2sqrt 2 } over {sqrt 2 }} = - 2 cr} )

Vậy với (x =  - sqrt 2 ) hoặc (x =  - 2) thì hai biểu thức bằng nhau.

d)

(eqalign{
& {x^2} - 2sqrt 3 x - sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + sqrt 3 cr
& Leftrightarrow {x^2} + left( {2 + 2sqrt 3 } ight)x + 2sqrt 3 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + 2left( {1 + sqrt 3 } ight)x + 2sqrt 3 = 0 cr
& Delta ' = {left( {1 + sqrt 3 } ight)^2} - 1.2sqrt 3 cr
& = 1 + 2sqrt 3 + 3 - 2sqrt 3 = 4 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt 4 = 2 cr
& {x_1} = {{ - 1 - sqrt 3 + 2} over 1} = 1 - sqrt 3 cr
& {x_2} = {{ - 1 - sqrt 3 - 2} over 1} = - 3 - sqrt 3 cr} )

Vậy với (x = 1 - sqrt 3 ) hoặc (x =  - 3 - sqrt 3 ) thì hai biểu thức bằng nhau.

e)

(eqalign{
& sqrt 3 {x^2} + 2sqrt 5 x - 3sqrt 3 = - {x^2} - 2sqrt 3 x + 2sqrt 5 + 1 cr
& Leftrightarrow left( {sqrt 3 + 1} ight){x^2} + left( {2sqrt 5 + 2sqrt 3 } ight)x - 3sqrt 3 - 2sqrt 5 - 1 = 0 cr
& Leftrightarrow left( {sqrt 3 + 1} ight){x^2} + 2left( {sqrt 5 + sqrt 3 } ight)x - 3sqrt 3 - 2sqrt 5 - 1 = 0 cr
& Delta ' = {left( {sqrt 5 + sqrt 3 } ight)^2} - left( {sqrt 3 + 1} ight)left( { - 3sqrt 3 - 2sqrt 5 - 1} ight) cr
& = 5 + 2sqrt {15} + 3 + 9 + 2sqrt {15} + sqrt 3 + 3sqrt 3 + 2sqrt 5 + 1 cr
& = 18 + 4sqrt 3 + 2sqrt 5 + 4sqrt {15} cr
& = 1 + 12 + 5 + 2.2sqrt 3 + 2sqrt 5 + 2.2sqrt 3 .sqrt 5 cr
& = 1 + {left( {2sqrt 3 } ight)^2} + {left( {sqrt 5 } ight)^2} + 2.1.2sqrt 3 + 2.1.sqrt 5 + 2.2sqrt 3 .sqrt 5 cr
& = {left( {1 + 2sqrt 3 + sqrt 5 } ight)^2} > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt {{{left( {1 + 2sqrt 3 + sqrt 5 } ight)}^2}} = 1 + 2sqrt 3 + sqrt 5 cr
& {x_1} = {{ - left( {sqrt 5 + sqrt 3 } ight) + 1 + 2sqrt 3 + sqrt 5 } over {sqrt 3 + 1}} = {{1 + sqrt 3 } over {sqrt 3 + 1}} = 1 cr
& {x_2} = {{ - left( {sqrt 5 + sqrt 3 } ight) - 1 - 2sqrt 3 - sqrt 5 } over {sqrt 3 + 1}} = {{ - 1 - 3sqrt 3 - 2sqrt 5 } over {sqrt 3 + 1}} cr
& = 4 - sqrt 3 - sqrt 5 - sqrt {15} cr} )

Sachbaitap.com