Câu 3.32 trang 187 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả...

 Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) ((intlimits_0^1 {{x^n}{{(1 – x)}^m}dx = intlimits_0^1 {{x^m}{{(1 – x)}^n}} } dx;m,n in {N^*})

b) (intlimits_{ – 1}^1 {{{{t^2}} over {{e^t} + 1}}} dt = intlimits_0^1 {{t^2}dt} )

c) (intlimits_0^1 {{{sin }^3}xcos xdx = } intlimits_0^1 {{t^3}} dt)

Hướng dẫn làm bài

a) Đúng

b) Ta có:   (intlimits_{ – 1}^1 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}}  = intlimits_{ – 1}^0 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}}  + intlimits_0^{ – 1} {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}} )               (*)

Dùng phương pháp đổi biến  t = – x đối với tích phân (intlimits_{ – 1}^0 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}} ) , ta được:

                  (intlimits_{ – 1}^0 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}}}  = intlimits_0^1 {{{{x^2}dx} over {{e^{ – x}} + 1}} = intlimits_0^1 {{{{t^2}dt} over {{e^{ – t}} + 1}}} } )

Thay vào (*) ta có: (intlimits_{ – 1}^1 {{{{t^2}dt} over {{e^t} + 1}} = intlimits_0^1 {{t^2}dt} } )

c) Sai.