Câu 3.22 trang 144 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) (int {{x^3}sin } xdx)                 b) (int {sin } left( {ln x} ight)dx)        

Giải

a) Đặt (u = {x^3},v =  - c{ m{os}}x)                 

Ta có (int {{x^3}sin } xdx =  - {x^3}{ m{cos}}x + 3int {{x^2}{ m{cos}}x} dx).

Tiếp tục tính (int {{x^2}{ m{cos}}} xdx) bằng cách lấy nguyên hàm từng phần.

 (int {{x^3}sin } xdx)

(= - {x^3}{ m{cos}}x + 3{x^2}sin x + 6xcos x - 6sin x + C)

b) ({{xsin left( {ln x} ight) - xcos left( {ln x} ight)} over 2} + C)

Biến đổi (u = ln x) . Khi đó (sin left( {ln x} ight)dx = {e^u}sin udu). Ta có

(int {sin } left( {ln x} ight)dx = int {e^u}sin udu)

(= {1 over 2}{e^u}left( {sin u - c{ m{os}}u} ight)  + C)

( = {{xsin left( {ln x} ight) - xcos left( {ln x} ight)} over 2} + C)

Sachbaitap.com