Câu 3.40 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đặt

Đặt ({I_n} = intlimits_0^{{pi  over 2}} {{ m{co}}{{ m{s}}^n}xdx} ). Chứng minh rằng ({I_n} = {{n - 1} over n}{I_{n - 2}}). Từ đó hãy tính ({I_5})

 Giải

 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với (u = c{ m{o}}{{ m{s}}^{n - 1}}x,v' = c{ m{os}}x) suy ra

         ({I_n} = left( {n - 1} ight)intlimits_0^{{pi  over 2}} {{ m{co}}{{ m{s}}^{n - 2}}x.{{sin }^2}xdx} )

Thay ({sin ^2}x = 1 - c{ m{o}}{{ m{s}}^2}x), ta có điều cần chứng minh.

Suy ra ({I_5} = {4 over 5}{I_3} = {4 over 5}.{2 over 3}{I_1} = {8 over {15}})

Sachbaitap.com