Bài 6 trang 116 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Cho ba điểm A(2;5;3),B(0;1;2),C=(x;y;6).

a) Cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7;4),C=(x;y;6).

Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng

b) Cho hai điểm A(-1;6;6), B(3;-6;-2).

Tìm điểm M thuộc (mpleft( {Oxy} ight)) sao cho MA+MB nhỏ nhất.

Giải

a) A,B,C thẳng hàng( Leftrightarrow overrightarrow {AC}  = koverrightarrow {AB} )

( Rightarrow left{ matrix{  x - 2 = k hfill cr  y - 5 = 2k hfill cr  3 = k hfill cr}  ight. Rightarrow left{ matrix{  x = 5 hfill cr  y = 11 hfill cr  k = 3 hfill cr}  ight.)

Vậy với x = 5, y = 11 thì A, B, C thẳng hàng.

b) Vì ({z_A} = 6,{z_B} =  - 2 Rightarrow {z_A}.{z_B} < 0 Rightarrow A,B) ở hai phía của mp(Oxy).

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi A, B, M thẳng hàng hay

(overrightarrow {AM} ,overrightarrow {AB} ) cùng phương ( Leftrightarrow left[ {overrightarrow {AM} ,overrightarrow {AB} } ight] = overrightarrow 0 .)

Ta có (overrightarrow {AB}  = ) (4;-12;-8).

Giả sử M(x;y;0)( in mpleft( {Oxy} ight)) thì (overrightarrow {AM}  = (x + 1;y - 6; - 6).)

(eqalign{  & left[ {overrightarrow {AM} ,overrightarrow {AB} } ight]cr& = left( {left| matrix{  y - 6 hfill cr   - 12 hfill cr}  ight.left. matrix{   - 6 hfill cr   - 8 hfill cr}  ight|left| matrix{   - 6 hfill cr   - 8 hfill cr}  ight.left. matrix{  x + 1 hfill cr  4 hfill cr}  ight|;left| matrix{  x + 1 hfill cr  4 hfill cr}  ight.left. matrix{  y - 6 hfill cr   - 12 hfill cr}  ight|} ight)  cr  &  = ( - 8y - 24;8x - 16; - 12x - 4y + 12). cr} )

Ta có : (left[ {overrightarrow {AM} ;overrightarrow {AB} } ight] = overrightarrow 0  Leftrightarrow left{ matrix{   - 8y - 24 = 0 hfill cr  8x - 16 = 0 hfill cr   - 12x - 4y + 12 = 0 hfill cr}  ight.)

(Rightarrow left{ matrix{  x = 2 hfill cr  y =  - 3. hfill cr}  ight.)

Vậy MA + MB ngắn nhất khi (M=(2;-3;0)).

Sachbaitap.com