Câu 26 trang 67 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hai đường thẳng y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) Chứng minh rằng :

Cho hai đường thẳng

 y = ax + b                   (d)

y = a’x + b’                 (d’)

Chứng minh rằng :

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ , hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = 1.

Gợi ý làm bài:

Qua gốc tọa độ , kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = ax // (d’).

*Chứng mình (d) vuông góc với (d’) thì a. a’ = -1

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0

Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = ax là góc nhọn.

Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = a’x là góc tù ( vì các góc tạo bởi

đường thẳng y = ax và đường thẳng y = a’x với tia Ox hơn kém nhau  ).

Suy ra: a’ < 0

Mà đường thẳng y = ax đi qua A(1;a), đường thẳng y = a’x đi qua B(1;a’)

nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1.

Vì (left( { m{d}} ight) ot left( {{ m{d'}}} ight)) nên hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau

Suy ra: (widehat {AOB} = {90^0})

Tam giác vuông AOB có (OH ot AB). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : (O{H^2} = HA.HB)

Hay: (a.left| {a'} ight| = 1 Leftrightarrow a.left( { - a'} ight) = 1 Leftrightarrow a.a' =  - 1)

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1

*Chứng minh 9a.a' =  - 1) thì (d) vuông góc với (d’)

Ta có : (a.a' =  - 1 Leftrightarrow a.left| {a'} ight| = 1) hay (HA.HB = O{H^2})

Suy ra: ({{HA} over {OH}} = {{OH} over {HB}} Rightarrow widehat {OHA} = widehat {OHB} = {90^0})

Suy ra: (Delta OHA) đồng dạng (Delta BHO Rightarrow widehat {AOH} = widehat {OBH})

Mà (widehat {OBH} = widehat {BOH} = {90^0} Rightarrow widehat {AOH} = widehat {BOH} = {90^0})

Suy ra (OA ot OB) hay hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau hay (left( { m{d}} ight) ot left( {{ m{d'}}} ight)).

Sachbaitap.com