Câu 24 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ. ...
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ.
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
(left{ {matrix{
{{1 over x} + {1 over y} = {4 over 5}} cr
{{1 over x} - {1 over y} = {1 over 5}} cr} }
ight.)
b)
(left{ {matrix{
{{{15} over x} - {7 over y} = 9} cr
{{4 over x} + {9 over y} = 35} cr} }
ight.)
c)
(left{ {matrix{
{{1 over {x + y}} + {1 over {x - y}} = {5 over 8}} cr
{{1 over {x + y}} - {1 over {x - y}} = - {3 over 8}} cr} }
ight.)
d)
(left{ {matrix{
{{4 over {2x - 3y}} + {5 over {3x + y}} = - 2} cr
{{3 over {3x + y}} - {5 over {2x - 3y}} = 21} cr} }
ight.)
e)
(left{ {matrix{
{{7 over {x - y + 2}} - {5 over {x + y - 1}} = 4,5} cr
{{3 over {x - y + 2}} + {2 over {x + y - 1}} = 4} cr} }
ight.)
Giải
a) Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b) điều kiện (x e 0;y e 0.) Ta có hệ phương trình:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{a + b = {4 over 5}} cr
{a - b = {1 over 5}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b + {1 over 5}} cr
{b + {1 over 5} + b = {4 over 5}} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b + {1 over 5}} cr
{2b = {3 over 5}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b + {1 over 5}} cr
{b = {3 over {10}}} cr
} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 2}} cr
{b = {3 over {10}}} cr} }
ight. cr} )
Suy ra:
(left{ {matrix{
{{1 over x} = {1 over 2}} cr
{{1 over y} = {3 over {10}}} cr
} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{y = {{10} over 3}} cr} }
ight.)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (left( {x;y} ight) = left( {2;{{10} over 3}} ight))
b) Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b) điều kiện (x e 0;y e 0) ta có hệ phương trình:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{15a - 7b = 9} cr
{4a + 9b = 35} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a - 9} over 7}} cr
{4a + 9.{{15a - 9} over 7} = 35} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a - 9} over 7}} cr
{28a + 135a - 81 = 245} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a - 9} over 7}} cr
{163a = 326} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a - 9} over 7}} cr
{a = 2} cr
} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 3} cr
{a = 2} cr} }
ight. cr} )
Suy ra:
(left{ {matrix{
{{1 over x} = 2} cr
{{1 over y} = 3} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {1 over 2}} cr
{y = {1 over 3}} cr} }
ight.)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (left( {{1 over 2};{1 over 3}} ight))
c) Đặt ({1 over {x + y}} = a;{1 over {x - y}} = b.) Điều kiện (x e pm y). Ta có hệ phương trình:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{a + b = {5 over 8}} cr
{a - b = - {3 over 8}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b - {3 over 8}} cr
{b - {3 over 8} + b = {5 over 8}} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b - {3 over 8}} cr
{b = {1 over 2}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 8}} cr
{b = {1 over 2}} cr} }
ight. cr} )
Suy ra:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{{1 over {x + y}} = {1 over 8}} cr
{{1 over {x - y}} = {1 over 2}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y = 8} cr
{x - y = 2} cr
} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y + 2} cr
{y + 2 + y = 8} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y + 2} cr
{2y = 6} cr
} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y + 2} cr
{y = 3} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 5} cr
{y = 3} cr} }
ight. cr} )
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (5; 3).
d) Đặt ({1 over {2x - 3y}} = a;{1 over {3x + y}} = b.) Điều kiện (x e {3 over 2}y;x e - {1 over 3}y.) Ta có hệ phương trình:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{4a + 5b = - 2} cr
{3b - 5a = 21} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{4a + 5.{{5a + 21} over 3} = - 2} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{12a + 25a + 105 = - 6} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{37a = - 111} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{a = - 3} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 2} cr
{a = - 3} cr} }
ight. cr} )
Suy ra:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{{1 over {2x - 3y}} = - 3} cr
{{1 over {3x + y}} = 2} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x - 3y = - {1 over 3}} cr
{3x + y = {1 over 2}} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} - 3x} cr
{2x - 3left( {{1 over 2} - 3x}
ight) = {1 over 3}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} - 3x} cr
{2x + 9x = - {1 over 3} + {3 over 2}} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} - 3x} cr
{11x = {7 over 6}} cr
} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} - 3x} cr
{x = {7 over {66}}} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} - {7 over {22}}} cr
{x = {7 over {66}}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {2 over {11}}} cr
{x = {7 over {66}}} cr} }
ight. cr} )
Hai giá trị (x = {7 over {66}};y = {2 over {11}}) thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (left( {{7 over {66}};{2 over {11}}} ight))
e) Đặt ({1 over {x - y + 2}} = a;{1 over {x + y - 1}} = b.) Điều kiện (x - y + 2 e 0;x + y - 1 e 0.)
Ta có hệ phương trình:
(eqalign{
& left{ {matrix{
{7a - 5b = 4,5} cr
{3a + 2b = 4} cr
} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 - 3a} over 2}} cr
{7a - 5.{{4 - 3a} over 2} = 4,5} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 - 3a} over 2}} cr
{14a - 20 + 15a = 9} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 - 3a} over 2}} cr
{29a = 29} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 - 3a} over 2}} cr
{a = 1} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {1 over 2}} cr
{a = 1} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{{1 over {x - y + 2}} = 1} cr
{{1 over {x + y - 1}} = {1 over 2}} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x - y + 2 = 1} cr
{x + y - 1 = 2} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y - 1} cr
{y - 1 + y - 1 = 2} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y - 1} cr
{2y = 4} cr} }
ight. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y - 1} cr
{y = 2} cr} }
ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr
{y = 2} cr} }
ight. cr} )
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 2).
Sachbaitap.com
