Câu 20 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) (6 + 2sqrt 2 ) và 9;

b) (sqrt 2  + sqrt 3 ) và 3;

c) (9 + 4sqrt 5 ) và 16;

d) (sqrt {11}  - sqrt 3 ) và 2.

Gợi ý làm bài

a) (6 + 2sqrt 2 ) và 9

Ta có : 9 = 6 + 3

So sánh: (2sqrt 2 ) và 3 vì  (2sqrt 2 ) > 0 và 3 > 0

Ta có: ({left( {2sqrt 2 } ight)^2} = {2^2}{left( {sqrt 2 } ight)^2} = 4.2 = 8)

({3^2} = 9)

Vì 8 < 9 nên ({left( {2sqrt 2 } ight)^2} < {3^2} Rightarrow 2sqrt 2  < 3)

Vậy (6 + 2sqrt 2  < 9.)

b) (sqrt 2  + sqrt 3 ) và 3

Ta có: 

(eqalign{
& {left( {sqrt 2 + sqrt 3 } ight)^2} = 2 + 2.sqrt 2 .sqrt 3 + 3 cr
& = 5 + 2.sqrt 2 .sqrt 3 cr} )

({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2)

So sánh: (sqrt 2 .sqrt 3 ) và 2

Ta có:  

(eqalign{
& {left( {sqrt 2 .sqrt 3 } ight)^2} = {left( {sqrt 2 } ight)^2}.{left( {sqrt 3 } ight)^2} cr
& = 2.3 = 6 cr} )

({2^2} = 4)

Vì 6 > 4 nên ({left( {sqrt 2 .sqrt 3 } ight)^2} > {2^2})

Suy ra: 

(eqalign{
& sqrt 2 .sqrt 3 > 2 cr
& Rightarrow 2.sqrt 2 .sqrt 3 > 2.2 cr
& Rightarrow 5 + 2.sqrt 2 .sqrt 3 > 4 + 5 cr} )

(eqalign{
& Rightarrow 5 + 2sqrt 2 .sqrt 3 > 9 cr
& Rightarrow {left( {sqrt 2 + sqrt 3 } ight)^2} > {3^2} cr} )

Vậy (sqrt 2  + sqrt 3  > 3)

c) (9 + 4sqrt 5 ) và 16

So sánh (4sqrt 5 ) và 5

Ta có: (16 > 5 Rightarrow sqrt {16}  > sqrt 5  Rightarrow 4 > sqrt 5 )

Vì (sqrt 5  > 0) nên:

(eqalign{
& 4.sqrt 5 > sqrt 5 .sqrt 5 Rightarrow 4sqrt 5 > 5 cr
& Rightarrow 9 + 4sqrt 5 > 5 + 9 cr} )

Vậy (9 + 4sqrt 5  > 16).

d) (sqrt {11}  - sqrt 3 ) và 2

Vì (sqrt {11}  > sqrt 3 ) nên (sqrt {11}  - sqrt 3  > 0)

Ta có:

(eqalign{
& {left( {sqrt {11} - sqrt 3 } ight)^2} cr
& = 11 - 2.sqrt {11} .sqrt 3 + 3 cr
& = 14 - 2.sqrt {11} .sqrt 3 cr} )

So sánh 10 và (2.sqrt {11} .sqrt 3 ) hay so sánh giữa 5 và (sqrt {11} .sqrt 3 )

Ta có: ({5^2} = 25)

(eqalign{
& {left( {sqrt {11} .sqrt 3 } ight)^2} = {left( {sqrt {11} } ight)^2}.{left( {sqrt 3 } ight)^2} cr
& = 11.3 = 33 cr} )

Vì 25 < 33 nên ({5^2} < {left( {sqrt {11} .sqrt 3 } ight)^2})

Suy ra : (5 < sqrt {11} .sqrt 3  Rightarrow 10 < 2.sqrt {11} .sqrt 3 )

Suy ra : (eqalign{
& 14 - 10 > 14 - 2.sqrt {11} .sqrt 3 cr
& Rightarrow {left( {sqrt {11} .sqrt 3 } ight)^2} < {2^2} cr} )

Vậy (sqrt {11}  - sqrt 3  < 2)

Sachbaitap.net