Câu 2.3 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng:

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:

a. ({{OM} over {ON}} = {{AB} over {CD}})

b. ({{OH} over {OK}} = {{BC} over {AD}})

Giải:

 

a. Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

({{OM} over {ON}} = {{MA} over {NC}})  hay ({{OM} over {ON}} = {{MB} over {ND}})

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

({{OM} over {ON}} = {{MA} over {NC}} = {{MB} over {ND}} = {{MA + MB} over {NC + ND}} = {{AB} over {CD}})

b. Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

({S_{AEO}} = {S_{BFO}}) (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

({S_{DEO}} = {S_{CFO}}) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

({S_{OAD}} = {S_{OBC}})  (3)

Suy ra: (OH.AD = OK.BC Leftrightarrow {{OH} over {OK}} = {{BC} over {AD}})

Sachbaitap.com