Câu 13 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng:

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:

a.  MN// AB;

b. (MN = {{CD - AB} over 2})

Giải:

a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM.

Trong tam giác DAB, ta có:

({{PA} over {AD}} = {1 over 2};{{BM} over {BD}} = {1 over 2})

Suy ra: ({{PA} over {AD}} = {{BM} over {BD}})

Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét)                       (1)

Trong tam giác ACD, ta có: ({{AP} over {AD}} = {1 over 2};{{AN} over {AC}} = {1 over 2})

Suy ra: ({{AP} over {AD}} = {{AN} over {AC}})

Suy ra: PN // CD ( Định lí đảo định lí Ta-lét)                             (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.

Vậy MN // CD hay MN // AB.

b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:

(PM = {{AB} over 2}) (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên:

(PN = {{AB} over 2}) (tính chất đường trung bình tam giác)

Mà PN = PM + MN

Suy ra: MN = PN – PM = ({{CD} over 2} - {{AB} over 2} = {{CD - AB} over 2})

Sachbaitap.com