Câu 11 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh bên AD lấy điểm E sao cho ({{AE} over {ED}} = {p over q}) . Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F

Chứng minh rằng: (EF = {{p.CD + q.AB} over {p + q}})

HD: Kẻ thêm đường chéo AC, cắt EF ở I, rồi áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào các tam giác ADC và CAB.

Giải:

 

Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I.

Trong tam giác AEC, ta có: EI // CD

Suy ra: ({{AE} over {AD}} = {{EI} over {CD}}) (Hệ quả định lí Ta-lét )

Suy ra: (EI = {{AE} over {AD}}.CD)   (1)

Lại có: ({{AE} over {ED}} = {p over q}) (gt)

Suy ra: ({{AE} over {AE + ED}} = {p over {p + q}})

Suy ra: ({{AE} over {AD}} = {p over {p + q}})  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (EI = {p over {p + d}}.CD)

Trong tam giác ABC, ta có: IF // AB

Suy ra: ({{BF} over {FC}} = {{AI} over {IC}}) (Định lí Ta-lét )            (3)

Trong tam giác ADC, ta có: EI // CD

Suy ra: ({{AE} over {ED}} = {{AI} over {IC}}) (Định lí Ta-lét )           (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ({{BF} over {FC}} = {{AE} over {ED}} = {p over q})

Trong tam giác ABC, ta có: IF // BC

Suy ra: ({{IF} over {AB}} = {{CF} over {CB}}) (Hệ quả của định lí Ta-lét)

Suy ra: (IF = {{CF} over {CB}}.AB)           (5)

Ta có: ({{BF} over {CF}} = {p over q}) (cmt)

Suy ra: ({{CF} over {BF}} = {q over p} Rightarrow {{CF} over {CF + BF}} = {q over {p + q}} Rightarrow {{CF} over {CB}} = {q over {p + q}})   (6)

Từ (5) và (6) suy ra: (IF = {q over {p + q}}.AB)

Vậy: (EF = EI + { m I}F = {p over {p + q}}.CD + {q over {p + d}}.AB = {{p.CD + q.AB} over {p + q}})

Sachbaitap.com