Câu 156 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho(widehat {FAD} = widehat {FDA} = {15^0}).

a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho(widehat {FAD} = widehat {FDA} = {15^0}). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Giải:                                                                           

a. Xét ∆ EDC và ∆ FDA :

(widehat {EDC} = widehat {FAD} = {15^0})

DC = AD (gt)

(widehat {ECD} = widehat {FDA} = {15^0})

Do đó: ∆ EDC = ∆ FDA (g.c.g)

 ⇒ DE = DF

⇒ ∆ DEF cân tại D

Ta lại có:

(eqalign{  & widehat {ADC} = widehat {FDA} + widehat {FDE} + widehat {EDC}  cr &  Rightarrow widehat {FDE} = widehat {ADC} - left( {widehat {FDA} + widehat {EDC}} ight) cr & = {90^0} - left( {{{15}^0} + {{15}^0}} ight) = {60^0} cr} )

Vậy ∆ DEF đều.

b. Xét ∆ ADE và ∆ BCE:

ED = EC (vì ∆ EDC cân tại E)

(widehat {ADE} = widehat {BCE} = {75^0})

AD = BC (gt)

Do đó: ∆ ADE = ∆ BCE (c.g.c)

⇒ AE = BE (1)

Trong ∆ AFD ta có:

(eqalign{  & widehat {AFD} = {180^0} - left( {widehat {FAD} + widehat {FDA}} ight) cr & = {180^0} - left( {{{15}^0} + {{15}^0}} ight) = {150^0}  cr  & widehat {AFD} + widehat {DFE} + widehat {AFE} = {360^0}  cr  &  Rightarrow widehat {AFE} = {360^0} - left( {widehat {AFD} + widehat {DFE}} ight) cr & = {360^0} - left( {{{150}^0} + {{60}^0}} ight) = {150^0} cr} )

Xét ∆ AFD và ∆ AEF:

AF cạnh chung

(widehat {AFD} = widehat {AFE} = {150^0})

DF = EF (vì ∆ DFE đều)

Do đó: ∆ AFD = ∆ AEF (c.g.c)

⇒ AE = AD

AD = AB (gt)

Suy ra: AE = AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AB = BE. Vậy ∆ AEB đều.

Sachbaitap.com