Câu 152 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.

Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh CD lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.

Giải:                                                                 

Xét ∆ CAB và ∆ EMB :

CA = ME (gt)

(widehat C = widehat E = {90^0})

CB = EB (tính chất hình vuông)

Do đó: ∆ CAB = ∆ EMB (c.g.c)

⇒ AB = MB (1)

AK = DK +DA

CD = CA + AD

mà CA = DK nên AK = CD

Xét ∆ CAB và ∆ KIA :

CA = KI (vì cùng bằng DK)

(widehat C = widehat K = {90^0})

CB = AK (vì cùng bằng CD)

Do đó: ∆ CAB = ∆ KIA (c.g.c)

⇒ AB = AI (2)

DH = DK (vì KDHI là hình vuông)

EM = DK (gt)

⇒ DH + HE = HE + EM

hay DE = HM

Xét ∆ HIM và ∆ EMB :

HI = EM (vì cùng bằng DK)

(widehat H = widehat E = {90^0})

HM = EB (vì cùng bằng DE)

Do đó: ∆ HIM = ∆ EMB (c.g.c)

⇒ IM = MB (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = BM = AI = IM

Tứ giác ABMI là hình thoi.

Mặt khác, ta có ∆ ACB = ∆ MEB (chứng minh trên)

(eqalign{  &  Rightarrow widehat {CBA} = widehat {EBM}  cr  & widehat {CBA} + widehat {ABE} = widehat {CBE} = {90^0} cr} )

Suy ra: (widehat {EBM} + widehat {ABE} = {90^0}) hay (widehat {ABM} = {90^0})

Vậy : Tứ giác ABMI là hình vuông.

Sachbaitap.com