Câu 12 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.

Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.11). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm.

a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.

b. So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.

Giải:

 

a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD         (1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên )

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

Suy ra: ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)

Suy ra: (widehat {ACD} = widehat {BDC})

Hay (widehat {OCD} = widehat {ODC})

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra:  (tính chất tam giác cân)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO

Trong tam giác OCD, ta có: ({{MO} over {MD}} = {{NO} over {NC}} = {1 over 3})

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD

Suy ra: ({{OM} over {OD}} = {{MN} over {CD}})  (Hệ quả định lí Ta-lét )

Suy ra: ({{MN} over {CD}} = {{OM} over {4OM}} = {1 over 4})

Suy ra: (MN = {1 over 4}CD = {1 over 4}.5,6 = 1,4) (cm)

Ta có: MB = MD (gt)

Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM

Lại có: AB // CD (gt), suy ra: MN // AB

Trong tam giác OAB, ta có: MN // AB

Suy ra: ({{OM} over {OB}} = {{MN} over {AB}}) (Hệ quả định lí Ta-lét )

Suy ra: ({{MN} over {AB}} = {{OM} over {2OM}} = {1 over 2})

Vậy AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8 (cm)

b. Ta có: ({{CD - AB} over 2} = {{5,6 - 2,8} over 2} = {{2,8} over 2} = 1,4) (cm)

Vậy MN( = {{CD - AB} over 2})

Sachbaitap.com