Câu 10 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Câu 10 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

Giải các phương trình và hệ phương trình sau

a) ({81^{{{sin }^2}x}} + {81^{{{cos }^2}x}} = 30)

b) ({log _3}(log _{{1 over 2}}^2x - 3{log _{{1 over 2}}}x + 5) = 2)

c) ({4^{{{log }_x} + 1}} - {6^{{{log }x}}} - {2.3^{log {x^2} + 2}} = 0)

d)

(left{ matrix{
{2^x}{8^{ - y}} = 2sqrt 2 hfill cr
{log _9}{1 over x} + {1 over 2} = {1 over 2}{log _3}(9y) hfill cr} ight.)

Giải

a) Đặt (t = {81^{{{cos }^2}x}}(1 le t le 81))

Khi đó: ({81^{{{sin }^2}x}} = {81^{1- {{cos }^2}x}} = {{81} over t})

Phương trình trở thành:

(eqalign{
& {{81} over t} + t = 30 Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t = 27 hfill cr
t = 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{3^{4{{cos }^2}x}} = {3^3} hfill cr
{3^{4{{cos }^2}x}} = 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
4{cos ^2}x = 3 hfill cr
4{cos ^2}x = 1 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
2(1 + cos 2x) = 3 hfill cr
2(1 + cos 2x) = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
cos 2x = {1 over 2} hfill cr
cos 2x = - {1 over 2} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = pm {pi over 6} + kpi hfill cr
x = pm {pi over 3} + kpi hfill cr} ight. cr} ) 

b) Ta có:

(eqalign{
& {log _3}(log _{{1 over 2}}^2x - 3{log _{{1 over 2}}}x + 5) = 2 cr&Leftrightarrow log _{{1 over 2}}^2x - 3{log _{{1 over 2}}}x + 5 = 9 cr
& Leftrightarrow log _{{1 over 2}}^2x - 3{log _{{1 over 2}}} - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{log _{{1 over 2}}}x = - 1 hfill cr
{log _{{1 over 2}}}x = 4 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2 hfill cr
x = {1 over {16}} hfill cr} ight. cr} ) 

Vậy (S = { m{{ }}{1 over {16}};,2} )

c) Điều kiện: x > 0

(eqalign{
& {4^{{{log }x} + 1}} - {6^{{{log }x}}} - {2.3^{log {x^2} + 2}} = 0 cr
& Leftrightarrow {4.4^{log x}} - {6^{log x}} - {18.9^{log x}} = 0 cr} ) 

Chia hai vế phương trình 4^logx ta được:

(4 - {({3 over 2})^{log x}} - 18.{({9 over 4})^{log x}} = 0)

Đặt (t = {({3 over 2})^{log x}},,(t > 0)) ta có phương trình:

(18{t^2} + t - 4 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = {4 over 9} hfill cr
t = - {1 over 2},,(loai) hfill cr} ight.)

(eqalign{
& t = {4 over 9} Leftrightarrow {({3 over 2})^{log x}} = {({3 over 2})^{-2}} Leftrightarrow log x = - 2 cr
& Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 over {100}} cr} )

d) Điều kiện: x > 0; y > 0

(eqalign{
& {2^x}{8^{ - y}} = 2sqrt 2 Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 over 2}}} Leftrightarrow x - 3y = {3 over 2},,,,,(1) cr
& {log _9}{1 over x} + {1 over 2} = {1 over 2}{log _3}(9y) cr&Leftrightarrow {1 over 2}{log _3}{1 over x} + {1 over 2} = {1 over 2}{log _3}(9y) cr
& Leftrightarrow {log _3}{3 over x} = {log _3}(9y) Leftrightarrow {3 over x} = 9y Leftrightarrow xy = {1 over 3},,,,,,,,,,,,(2) cr} )

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

(left{ matrix{
x - 3y = {3 over 2} hfill cr
xy = {1 over 3} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = {3 over 2} + 3y hfill cr
({3 over 2} + 3y)y = {1 over 3} hfill cr} ight. )

(Leftrightarrow left{ matrix{
x = {3 over 2} + 3y hfill cr
3{y^2} + {3 over 2}y - {1 over 3} = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 2 hfill cr
y = {1 over 6} hfill cr} ight.) 

Vậy (S = { m{{ }}(2,,{1 over 6}){ m{} }})

soanbailop6.com