Câu 1.66 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số

                 (y = {{mx - 1} over {x - m}},m e  pm 1)

Gọi (left( {{H_m}} ight)) là đồ thị của hàm số đã cho.   

a) Chứng minh rằng với mọi (m e  pm 1), đường cong (left( {{H_m}} ight)) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.                       

b) Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của (left( {{H_m}} ight)). Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.

Giải

a) Đồ thị (left( {{H_m}} ight)) của hàm số đã cho đi qua điểm (left( {{x_0},{y_0}} ight)) khi và chỉ khi

({y_0} = {{m{x_0} - 1} over {{x_0} - m}})

Với mọi (m e  pm 1) , đường cong (left( {{H_m}} ight)) luôn đi qua điểm (left( {{x_0},{y_0}} ight)) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi (m e  pm 1).

Với mọi (m e  pm 1), phương trình trên tương đương với phương trình

                (eqalign{& {y_0}left( {{x_0} - m} ight) = m{x_0} - 1  cr &  Leftrightarrow left( {{x_0} + {y_0}} ight)m = {x_0}{y_0} + 1 cr} )                                                      

Phương trình nghiệm đúng với mọi (m e  pm 1) khi và chỉ khi

                 (left{ matrix{{x_0} + {y_0} = 0 hfill cr {x_0}{y_0} + 1 = 0 hfill cr}  ight.)

            ( Leftrightarrow left{ matrix{{y_0} =  - {x_0} hfill cr - x_0^2 + 1 = 0 hfill cr}  ight.)

Hệ phương trình tương đương với mọi (m e  pm 1), đường cong (left( {{H_m}} ight)) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1)

b) Tập hợp các điểm M khi m lấy các giá trị trong tập hợp (Rackslash left{ { - 1;1} ight}) là đường thẳng  y = x bỏ đi hai điểm (-1;-1) và (1;1)

Sachbaitap.com