Câu 1.29 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một cách trình bày việc đưa biểu thức ...
Một cách trình bày việc đưa biểu thức
Một cách trình bày việc đưa biểu thức (asin x + bcos x) (a, b là hằng số, ({a^2} + {b^2} e 0)) về dạng (Csin left( {x + alpha } ight)) nhờ biểu thức toạn độ của tích vô hướng của hai vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ gắn với đường tròn lượng giác tâm O gốc A, hãy xét các điểm (Pleft( {a;b} ight),Qleft( {b;a} ight),Mleft( {cos x;sin x} ight))
a) Từ công thức (overrightarrow {OQ} .overrightarrow {OM} = asin x + bcos x) và
(overrightarrow {OQ} .overrightarrow {OM} = left| {overrightarrow {OQ} } ight|.left| {overrightarrow {OM} } ight|cos left( {OQ,QM} ight))
Hãy suy ra (asin x + bcos x = Ccos left( {x - eta } ight)) trong đó (eta ) là số đo của góc lượng giác (left( {OA,OQ} ight))
b) Từ câu a) suy ra rằng (asin x + bcos x = Csin left( {x + alpha } ight)) trong đó (alpha ) là số đo của góc lượng giác (left( {OA,OP} ight),C = left| {overrightarrow {OP} } ight|)
Giải
a) Ta có (overrightarrow {OQ} .overrightarrow {OM} = asin x + bcos x)
(eqalign{
& = left| {overrightarrow {OQ} }
ight|.left| {overrightarrow {OM} }
ight|cos left( {OQ,OM}
ight) cr&= left| {overrightarrow {OQ} }
ight|cos (left( {OA,OM}
ight) - left( {OA,OQ}
ight)) cr
& = left| {overrightarrow {OQ} }
ight|cos left( {alpha - eta }
ight),cr&left| {overrightarrow {OQ} }
ight| = sqrt {{a^2} + {b^2}} ,eta = left( {OA,OQ}
ight) cr} )
b)
Hai điểm (Pleft( {a;b} ight)) và (Qleft( {b;a} ight)) đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, nên dễ thấy
(left( {OA,OQ} ight) = {pi over 2} - left( {OA,OP} ight),) tức là
(eta = {pi over 2} - alpha + k2pi ,k in Z.)
Vậy
(asin x + bcos x = left| {overrightarrow {OQ} } ight|cos xleft( {x - eta } ight))
(= left| {overrightarrow {OP} } ight|cos left( {x - {pi over 2} + alpha } ight) = left| {overrightarrow {OP} } ight|sin left( {x + alpha } ight))
sachaitap.com
