Câu 1.49 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm

Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm (x in left( {0;{pi  over {12}}} ight)) (cos 4x = {cos ^2}3x + m{sin ^2}x)

Giải

Ta có:

(eqalign{
 cos 6x &= cos left( {2x + 4x} ight) cr&= cos 2xcos 4x - sin 2xsin 4x cr
& = cos 2xleft( 2{{{cos }^2}2x - 1} ight) - 2{sin ^2}2xcos 2x cr
&  = 2{cos ^3}2x - cos 2x - 2left( {1 - {{cos }^2}2x} ight)cos 2x cr&= 4{cos ^3}2x - 3cos 2x cr} )

Áp dụng kết quả đó, phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

(eqalign{& cos 4x = {cos ^2}3x + m{sin ^2}x cr&Leftrightarrow cos 4x = {{1 + cos 6x} over 2} + {{mleft( {1 - cos 2x} ight)} over 2} cr
& Leftrightarrow 2left( {2{{cos }^2}2x - 1} ight) = 1 + cos 6x + m - mcos 2x cr
& Leftrightarrow 4{cos ^2}2x - 2 = 1 + 4{cos ^3}2x - 3cos 2x + m cr&;;;= mcos 2x cr
& Leftrightarrow 4{cos ^3}2x - 4{cos ^2}2x - left( {m + 3} ight)cos 2x + m + 3 cr&;;;;= 0 cr} )

( Leftrightarrow left( {cos 2x - 1} ight)left[ {4{{cos }^2}2x - left( {m + 3} ight)} ight] = 0 )

(Leftrightarrow left[ matrix{
cos 2x = 1 hfill cr
4{cos ^2}2x = left( {m + 3} ight) hfill cr} ight.)

Nếu phương trình có nghiệm (x in left( {0;{pi  over {12}}} ight)) thì (2x in left( {0;{pi  over 6}} ight)),

Suy ra ({{sqrt 3 } over 2} < cos 2x < 1) và ({3 over 4} < {cos ^2}2x < 1), nghĩa là (3 < m + 3 < 4) hay (0 < m < 1)

Ngược lại, dễ thấy rằng nếu (0 < m < 1) thì phương trình có nghiệm (x in left( {0;{pi  over {12}}} ight))

sacbaitap.com