Bài 16 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong số các hình chóp tam giác đều nội

Trong số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, hãy xác định hình chóp có thể tích lớn nhất. Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều.

Giải

Dễ thấy (R = {{S{A^2}} over {2SH}}), từ đó nếu kí hiệu cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt là a và h thì

(eqalign{  & R = {{{a^2} + 3{h^2}} over {6h}};;;;;;;(1)  cr  & {V_{S.ABC}} = {1 over 3}.{{{a^2}sqrt 3 } over 4}.h;;;(2) cr} )

Từ (1) và (2) ta có:

(eqalign{  {V_{S.ABC}} &= {{sqrt 3 } over {12}}hleft( {6Rh - 3{h^2}} ight)  cr  &  = {{sqrt 3 } over {12}}h.3hleft( {2R - h} ight)  cr  &  = {{sqrt 3 } over 4}h.hleft( {2R - h} ight). cr} )

Mặt khác h < 2R nên ({V_{S.ABC}}) lớn nhất khi và chỉ khi (h.h.(2R-h)) lớn nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi (h = {{4R} over 3}). Khi đó

({a^2} = 3h(2R - h) = 4R(2R - {{4R} over 3}) = {{8{R^2}} over 3},) tức là (a = {{2Rsqrt 6 } over 3}.)

Dễ thấy trong trường hợp này, SABC là tứ diện đều có cạnh bằng ({{2Rsqrt 6 } over 3}.)

( ullet ) Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều cạnh a.

Ta cũng có (R = {{S{A^2}} over {2SH}}), trong đó SA là một cạnh bên và SH là đường cao của hình chóp, từ đó (R = {{{a^2} + 4{h^2}{{sin }^2}{pi  over n}} over {8h{{sin }^2}{pi  over n}}},) suy ra ({a^2} = 4h(2R - h){sin ^2}{pi  over n})

Gọi S là diện tích đáy của hình chóp n-giác đều cạnh a thì (S = {{n{a^2}} over 4}cot {pi  over n}.)

Khi ấy, thể tích V của khối chóp bằng

(eqalign{   V &= {{n{a^2}} over {12}}cot {pi  over n}.h  cr  &  = {n over {12}}cot {pi  over n}.h.4hsi{n^2}{pi  over n}.(2R - h)  cr  &  = {n over 3}cot {pi  over n}si{n^2}{pi  over n}.h.h(2R - h)  cr  &  = {n over 6}cot {pi  over n}si{n^2}{pi  over n}.h.h(4R - 2h). cr} )

Vậy V  lớn nhất khi và chỉ khi (h = {{4R} over 3}) và từ đó

({a^2} = {sin ^2}{pi  over n}.{{16R} over 3}(2R - {{4R} over 3}) = {sin ^2}{pi  over n}.{{32{R^2}} over 9},)

Tức là (a = {{4Rsqrt 2 } over 3}.sin {pi  over n}.)

Như thế, trong số các hình chóp n-giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước thì hình chóp n-giác đều có chiều cao (h = {{4R} over 3}) và cạnh đáy (a = {{4Rsqrt 2 } over 3}sin {pi  over n}) có thể tích lớn nhất.

Sachbaitap.com