Câu 2.48 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Hãy chứng minh

Hãy chứng minh

a)({log _{{1 over 2}}}3 + {log _3}{1 over 2} <  - 2;)           b)({4^{{{log }_5}7}} = {7^{{{log }_5}4}};)

c) ({log _3}7 + {log _7}3 > 2;)                d) ({3^{{{log }_2}5}} = {5^{{{log }_2}3}}.)

Giải

a) Ta có ({log _{{1 over 2}}}3 = {1 over {{{log }_3}{1 over 2}}})và({1 over {left| {{{log }_3}{1 over 2}} ight|}} + left| {{{log }_3}{1 over 2}} ight| > 2)

( theo công thức đổi cơ số của lôgarit,bất đẳng thức Cô- si và ({1 over {left| {{{log }_3}{1 over 2}} ight|}} e left| {{{log }_3}{1 over 2}} ight|))

Mặt khác, ({log _3}{1 over 2} < 0) nên ( - {1 over {{{log }_3}{1 over 2}}} - {log _3}{1 over 2} > 2), hay ({log _{{1 over 2}}}3 + {log _3}{1 over 2} <  - 2)

b) ({4^{{{log }_5}7}} = {7^{{{log }_5}4}} Leftrightarrow {log _4}{4^{{{log }_5}7}} = {log _4}{7^{{{log }_5}4}} )

(Leftrightarrow {log _5}7 = {log _5}4.{log _4}7).

Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .

c) Ta có   ({log _3}7 > 0),({log _7}3 > 0) và ({log _3}7 = {1 over {{{log }_7}3}} e {log _7}3).

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

({1 over {{{log }_7}3}} + {log _7}3 > 2),suy ra ({log _3}7 + {log _7}3 > 2).

d) ({3^{{{log }_2}5}} = {5^{{{log }_2}3}} Leftrightarrow {log _3}{3^{{{log }_2}5}} = {log _3}{5^{{{log }_2}3}})

(Leftrightarrow {log _2}5 = {log _2}3.{log _3}5).

Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .

Sachbaitap.com