Bài 14 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho đường tròn đường kính AB=2R

Cho đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi O₁ là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SO₁ vuông góc với (P) và SO₁ = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S.

Giải

Gọi (Delta ) là trục của đường tròn đã cho thì (Delta // S{O_1}).

Trong (mp(S{O_1},Delta ),) đường trung trực của SA cắt (Delta ) tại O₂ thì O₂ là tâm mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S, bán kính mặt cầu này bằng ({O_2}A = {O_2}S).

Xét các tam giác vuông ({O_2}AO) và ({O_2}{ m{IS}}) ( ở đó ({O_2}I// A{O_1})), ta có

(eqalign{  & {O_2}{S^2} = 4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2}  cr  & {O_2}A^2 = {R^2} + OO_2^2. cr} )

Từ đó

(4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2} = {R^2} + OO_2^2,) suy ra (O{O_2} = {{7R} over 4}).

Vậy bán kính mặt cầu là (sqrt {{R^2} + {{49} over {16}}{R^2}}  = {{Rsqrt {65} } over 4})

Và thể tích khối cầu phải tìm là ({{65} over {48}}sqrt {65} pi {R^3}.)

Sachbaitap.com