Câu 1.65 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến chung của parabol

Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến chung của parabol (y = {x^2} - 3x) đi qua điểm (Aleft( {{3 over 2}; - {5 over 2}} ight)) và chúng vuông góc với nhau.

Giải

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k là

              (y = kleft( {x - {3 over 2}} ight) - {5 over 2})    (left( {{D_k}} ight))

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng (left( {{D_k}} ight)) là nghiệm của phương trình

            (eqalign{& {x^2} - 3x = kx - {3 over 2}k - {5 over 2}  cr &  Leftrightarrow 2{x^2} - 2(k + 3)x + 3k + 5 = 0 cr} )

Đường thẳng (left( {{D_k}} ight)) là tiếp tuyến của parabol khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép, tức là

                (eqalign{& Delta ' = {left( {k + 3} ight)^2} - 2left( {3k + 5} ight) = 0  cr &  Leftrightarrow {k^2} - 1 = 0 Leftrightarrow k =  pm 1 cr} )

Như vậy có hai tiếp tuyến của parabol đi qua điểm A. Hệ số góc của hai tiếp tuyến đó là ({k_1} = 1) và ({k_2} =  - 1). Vì  (k_1.{k_2} =  - 1) nên hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Sachbaitap.com