Câu 1.20 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các số thực p và q sao cho hàm số

Tìm các số thực p và q sao cho hàm số

                                (f(x) = x + p + {q over {x + 1}})

Đạt cực đại tại điểm (x =  - 2{ m{ }}) và ({ m{ }}fleft( { - 2} ight) =  - 2).

Giải

Ta có

(f'(x) = 1 - {q over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}})  với mọi (x e  - 1)

- Nếu (q le 0) thì (f'(x) > 0) với mọi (x e  - 1). Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - infty ; - 1} ight)) và (left( { - 1; + infty } ight)) . Hàm số không có cực đại, cực tiểu.

- Nếu q > 0 thì phương trình

                                (f'(x) = {{{x^2} + 2x + 1 - q} over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = 0)

Có hai nghiệm phân biệt ({x_1} =  - 1 - sqrt q ) và ({x_2} =  - 1 + sqrt q )

Hàm số đạt cực đại tại điểm ({x_1} =  - 1 - sqrt q ) và đạt cực tiểu tại điểm ({x_2} =  - 1 + sqrt q ). Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 khi và chỉ khi

( - 1 - sqrt q  =  - 2 Leftrightarrow sqrt q  = 1 Leftrightarrow q = 1)

(f(-2) =  - 2 Leftrightarrow p = 1)

Sachbaitap.com