Câu 1.15 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số (f(x) = {4 over pi }x - an x,x in left[ {0;{pi  over 4}} ight])

a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn (left[ {0;{pi  over 4}} ight])

b) Từ đó suy ra rằng: ( an x le {4 over pi }x) với mọi (x in left[ {0;{pi  over 4}} ight])

Giải

a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 4}} ight]) và có đạo hàm

(f'(x) = {4 over pi } - {1 over {{{cos }^2}x}} = {{4 - pi } over pi } - { an ^2}x,x in left( {0;{pi  over 4}} ight))

(f'(x) = 0 Leftrightarrow an x = sqrt {{{4 - pi } over pi }} )

Dễ dàng thấy rằng (0 < sqrt {{{4 - pi } over pi }}  < 1 = an {pi  over 4}). Do đó tồn tại một số duy nhất (alpha  in left( {0;{pi  over 4}} ight)) sao cho ( an alpha  = sqrt {{{4 - pi } over pi }} )

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên đoạn (left[ {0;alpha} ight]) và nghịch biến trên (left[ {alpha ;{pi  over 4}} ight])

b) Theo bảng biến thiên ta có

                                (f(x) ge 0) với mọi (x in left[ {0;{pi  over 4}} ight])

Từ đó có bất đẳng thức cần chứng minh. 

Sachbaitap.com