Câu 1.13 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số (f(x) = 2sin x + an x - 3x)

a) Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight))

b) Chứng minh rằng

     (2sin x + an x > 3x) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight))            

Giải

a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) , ta có

(f'(x) = 2cos x + {1 over {{{cos }^2}x}} - 3)

           ( = {{2{{cos }^3}x - 3cos x + 1} over {{{cos }^2}x}})

           ( = {{{{(1 - cosx)}^2}(2cos x + 1)} over {{{cos }^2}x}} > 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight))

b) Từ a) suy ra (f(x) > f(0) = 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)), tức là ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

Sachbaitap.com