Câu 1.12 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số (f(x) = {sin ^2}x + cosx)

a) Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên đoạn (left[ {0;{pi  over 3}} ight]) và nghịch biến trên đoạn (left[ {{pi  over 3};pi } ight])

b) Chứng minh rằng với mọi (m in left( { - 1;1} ight)), phương trình

                                ({sin ^2}x + cosx = m)

có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn (left[ {0;pi } ight])

Giải

a) Hàm số liên tục trên đoạn (left[ {0;pi } ight])

Ta có:                     

(f'(x) = 2sin xcos x - {mathop{ m s} olimits} { m{in}}x)

           ( = sin x(2cos x - 1),x in left( {0;pi } ight))

Vì khi đó sinx > 0 nên

 (f'(x) = 0 Leftrightarrow cos x = {1 over 2} Leftrightarrow x = {pi  over 3})

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên đoạn (left[ {0;{pi  over 3}} ight])và nghịch biến trên đoạn (left[ {{pi  over 3};pi } ight])

b) 

+) Hàm số f liên tục trên đoạn (left[ {0;{pi  over 3}} ight]), (fleft( {{pi  over 3}} ight) = {5 over 4}) và (f(pi) = -1). Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với  mọi (m in left( { - 1;1} ight) subset left( { - 1;{5 over 4}} ight)) tồn tại một số thực (c in left( {{pi  over 3};pi } ight)) sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm của phương trình trong b). Vì hàm số f  nghịch biến trên (left[ {{pi  over 3};pi } ight])nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.

+) Vì với mọi (x in left( {0;{pi  over 3}} ight)) ta có (1 le f(x) le {5 over 4}) nên phưng trình đã nêu không có nghiệm (m in left( { - 1;1} ight))

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc (left( {0;pi } ight))

Sachbaitap.com