Bài 52 trang 12 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ mà đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, BD=b, AA’=c(left( {{c^2} ge {a^2} + {b^2}} ight).) Một mặt phẳng (left( P ight)) đi qua A và vuông góc với CA’.

a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi (mpleft( P ight).)

b) Tính diện tích thiết diện nói trên.

Giải

(h.36)

 

a) Trong (mpleft( {AA'C'C} ight)), dựng đường thẳng qua A vuông góc với CA’ lần lượt cắt CA’ và CC’ tại I và M.

Vì (AC = sqrt {{a^2} + {b^2}}  le c) nên (IC le IA',) do đó M phải thuộc đoạn CC’.

Bây giờ ta tìm giao điểm N và (left( P ight)) và BB’. Dễ thấy (AN ot BC,AN ot CA')

( Rightarrow AN ot A'B.) Vậy để tìm N, ta kẻ qua A (trong (mpleft( {A'B'BA} ight))) đường thẳng vuông góc với A’B cắt B’B tại N.

Vậy thiết diện là tam giác AMN.

b)Ta có : ({V_{A'.AMN}} = {V_{M.AA'N}} = {V_{M.AA'B}} = {V_{C.A'AB}} = {1 over 6}abc) (do (NB//AA',MC// AA').)

Mặt khác :

({V_{A'.AMN}} = {1 over 3}.{S_{AMN}}.A'I )

(Rightarrow {S_{AMN}} = {{3{V_{A'.AMN}}} over {A'I}} = {{abc} over {2A'I}}.)

Xét tam giác vuông A’AC ta có :

(A'I.A'C = AA{'^2} = {c^2} Rightarrow A'I = {{{c^2}} over {A'C}} = {{{c^2}} over {sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}).

Vậy ({S_{AMN}} = {{absqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} } over {2c}}.)

Sachbaitap.com