Bài 61 trang 13 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Một mặt phẳng (left( alpha  ight)) đi qua A, vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’,D’.

1. Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện là góc vuông.

2. Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A thì (mpleft( {AB'C'D'} ight)) luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi.

3. Giả sử góc giữa cạnh SC và mặt bên (SAB) bằng x.

Tính tỉ số giữa thể tích của hình chóp S.AB’C’D’ và thể tích của hình chóp S.ABCD theo x, biết rằng AB = BC.

Giải

(h.43)

 

1. (SC ot (AB'C'D') Rightarrow SC ot AB'.) Dễ thấy (BC ot (SAB) Rightarrow BC ot AB'.)

Từ đó suy ra :

(AB' ot (SBC) Rightarrow AB' ot B'C'.)

Tương tự ta có (AD' ot D'C'.)

Như vậy tứ giác AB’C’D’ có hai góc B’ và D’ vuông.

2. Gọi (Delta ) là giao tuyến của hai mặt phẳng (left( alpha  ight)) và mp(ABCD) .

Do (Delta ) thuộc (left( alpha  ight))  nên (Delta  ot SC).

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có (Delta  ot AC). Hơn nữa, (Delta ) nằm trong mp(ABCD) và đi qua điểm A có định, vậy (Delta ) là đường thẳng cố định.

Do (AB' ot (SBC),AD' ot (SCD) )

(Rightarrow AB' ot B'C,AD' ot D'C.)

Các tam giác vuông ABC, ADC, AB’C, AD’C, AC’C có chung cạnh huyền cố định AC, suy ra các đỉnh A, B, C, D, B’, C’, D’ đều cách trung điểm O của AC một khoảng không đổi ({{AC} over 2}.)

3. Cách 1. Do (BC ot (SAB)) nên SB là hình chiếu của SC trên mp(SAB) và do đó (widehat {BSC} = x  ). Ta có

(eqalign{  & V = {V_{S.ABCD}} = {1 over 3}{a^2}SA(a = AB = BC),  cr  & V' = {V_{S.AB'C'D'}} = {1 over 3}{S_{AB'C'D'}}.SC'. cr} )

Do ABCD là hình vuông nên dễ dàng suy ra được SB’=SD’( Rightarrow B'D'// BD.)

Từ đó dễ thấy (B'D' ot (SAC) Rightarrow B'D' ot AC')

(Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {1 over 2}AC'.B'D'.)

Ta có :

(SB = BCcot x = acot x,SC = {{BC} over {{mathop{ m sinx} olimits} }} = {a over {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}}})

(eqalign{  & SA = sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = {{asqrt {cos 2x} } over {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}}},cr&SB' = {{S{A^2}} over {SB}} = {{acos 2x} over {{mathop{ m s} olimits} { m{inxcosx}}}},  cr  & SC' = {{S{A^2}} over {SC}} = {{acos 2x} over {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}}},cr&B'D' = BD.{{SB'} over {SB}} = {{asqrt 2 cos 2x} over {{{cos }^2}x}},  cr  & AC' = {{SA.AC} over {SC}} = asqrt {2cos 2x} . cr} )

Vậy (V = {{{a^3}sqrt {cos 2x} } over {3sin x}},V' = {{{a^3}{{cos }^2}2xsqrt {cos 2x} } over {3sin x{{cos }^2}x}} Rightarrow {{V'} over V} = {{{{cos }^2}2x} over {{{cos }^2}x}}.)

Cách 2. Dễ thấy :({{V'} over V} = {{2{V_{S.AB'C'}}} over {2{V_{S.ABC}}}} = {{SB'.SC'} over {SB.SC}}.)

Từ đó dễ dàng suy ra kết quả cần tìm.

Sachbaitap.com