Bài tập 4 – Trang 101- SGK Toán Giải tích 12: Bài 1. Nguyên hàm...

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) (∫xln(1+x)dx);             b) (int {({x^2} + 2x + 1){e^x}dx})

c) (∫xsin(2x+1)dx);         d) (int (1-x)cosxdx)

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt (u= ln(1+x))

     (dv= xdx)    

(Rightarrow du=frac{1}{1+x}dx) ,  (v=frac{x^{2}-1}{2})

Ta có: (∫xln(1+x)dx = frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x))(-frac{1}{2}int (x-1)dx))

                             (=frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-frac{1}{4}x^{2}+frac{x}{2}+C)

b) Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần:

Đặt (u = ({x^2} + 2x – 1)) và (dv=e^xdx)

Suy ra (du = (2x+2)dx), (v=e^x)

. Khi đó:

(int {({x^2} + 2x{ m{ }} – { m{ }}1){e^x}dx} ) = (({x^2} + 2x{ m{ }} – { m{ }}1){e^x}) – (int {(2x + 2){e^x}dx} )

Đặt : (u=2x+2); (dv={e^x}dx)

 (Rightarrow du = 2dx ;v={e^x})

Khi đó: (int {(2x + 2){e^x}dx} )(= {(2x + 2){e^x}})(- 2int {{e^x}dx} )(= { m{ }}{e^x}left( {2x + 2} ight){ m{ }}-{ m{ }}2{e^x} + C)

Vậy: (int {({x^2} + 2x{ m{ }} – { m{ }}1){e^x}dx} ={e^x}({x^2} – 1){ m{ }} + { m{ }}C)

c) Đáp số: (-frac{x}{2}cos (2x+1)+ frac{1}{4}sin(2x+1)+C)

HD: Đặt (u=x); (dv = sin(2x+1)dx)

d) Đáp số : ((1-x)sinx – cosx +C).

HD: Đặt (u = 1 – x)  ;(dv = cosxdx)