Bài tập 4 – Trang 113- Toán Giải tích 12: Bài 2. Tích phân...

Bài 4. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a)(int_{0}^{frac{pi}{2}}(x+1)sinxdx)   ;      b) (int_{1}^{e}x^{2}lnxdx)

c)(int_{0}^{1}ln(1+x))dx)      ;       d)(int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx)

 Hướng dẫn giải:

a) Đặt (u=x+1); (dv=sinxdx)  (Rightarrow du = dx ;v = -cosx). Khi đó:

 (int_{0}^{frac{pi}{2}}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx|_{0}^{frac{pi}{2}}+int_{0}^{frac{pi}{2}}cosxdx)

(=1 +sinx|_{0}^{frac{pi}{2}}=2)

b)(frac{1}{9}(2e^{3}+1)). HD:  Đặt u = ln x ,dv = x²dx

c) Đặt 

(eqalign{
& u = ln x Rightarrow du = {1 over x}dx cr
& dv = {x^2}dx Rightarrow v = {{{x^3}} over 3} cr} )

Do đó ta có:

(intlimits_1^e {{x^2}ln xdx = {{{x^3}} over 3}.lnxleft| {_1^e – intlimits_1^e {{{{x^3}} over 3}dx = {{{e^3}} over 3} – left[ {{{{x^3}} over 9}} ight]} left| {_1^e} ight.} ight.})(  = {{{e^3}} over 3} – {{{e^3} – 1} over 9} = {{2{e^3} + 1} over 9})

d) Ta có :

(int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{x}dx= int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}dx)(-2int_{0}^{1}x.e^{-x}dx)

Đặt (u= {x^2} – 1); (dv{ m{ }} = { m{ }}{e^{ – x}}dx) (Rightarrow du = 2xdx ;v = -e^{-x}) Khi đó :

(int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}=-e^{-x}(x^{2}-1)|_{0}^{1}+2int_{0}^{1}xe^{-x}dx)

(=-1+2int_{0}^{1}x.e^{-x}dx)

 Vậy : (int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx) =(=-1+2int_{0}^{1}x.e^{-x}dx-2int_{0}^{1}x.e^{-x}dx) = -1