Bài tập 6 – Trang 113 – SGK Giải tích 12: Bài 2. Tích phân...

Bài 6. Tính tích phân (int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx) bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số : (u = 1 – x);

b) Tính tích phân từng phần.

Giải:

a) Đặt (u = 1 – x Rightarrow x = 1 – u Rightarrow dx = – du).

Khi (x = 0) thì (u = 1), khi (x = 1) thì (u = 0). Khi đó:

(int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=int_{0}^{1}(1-u)u^{5}du=(frac{1}{6}u^{6}-frac{1}{7}u^{7})|_{0}^{1})(=frac{1}{42}.)

b) Đặt (u = x); (dv = (1 – x)^5dx)

(Rightarrow du = dx); (v=-frac{(1+x)^{6}}{6}). Khi đó:

(int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=-frac{x(1-x)^{6}}{6}|_{0}^{1}+frac{1}{6}int_{0}^{1}(1-x)^{6}dx)

                                  (=-frac{1}{6}int_{0}^{1}(1-x)^{6}d(1-x)=-frac{1}{42}(1-x)^{7}|_{0}^{1}=frac{1}{42}).